Theorem trpredrec 31738

Description: If Y is an R, A transitive predecessor, then it is either an immediate predecessor or there is a transitive predecessor between Y and X. (Contributed by Scott Fenton, 9-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
trpredrec	|- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( Y e. TrPred ( R , A , X ) -> ( Y e. Pred ( R , A , X ) \/ E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) ) )

Distinct variable groups:   z, A   z, R   z, X   z, Y

Proof of Theorem trpredrec

Dummy variables a i j y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltrpred 31726	. 2 |- ( Y e. TrPred ( R , A , X ) <-> E. i e. om Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) )
2		nn0suc 7090	. . . 4 |- ( i e. om -> ( i = (/) \/ E. j e. om i = suc j ) )
3		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = (/) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) = ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) )
4	3	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( i = (/) -> ( Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) <-> Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) ) )
5	4	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 |- ( i = (/) -> ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) <-> ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) ) ) )
6	5	biimpd 219	. . . . . . . 8 |- ( i = (/) -> ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) -> ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) ) ) )
7		setlikespec 5701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> Pred ( R , A , X ) e. _V )
8		fr0g 7531	. . . . . . . . . . 11 |- ( Pred ( R , A , X ) e. _V -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) = Pred ( R , A , X ) )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) = Pred ( R , A , X ) )
10	9	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) <-> Y e. Pred ( R , A , X ) ) )
11	10	biimpa 501	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` (/) ) ) -> Y e. Pred ( R , A , X ) )
12	6, 11	syl6com 37	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) -> ( i = (/) -> Y e. Pred ( R , A , X ) ) )
13		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = suc j -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) = ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) )
14	13	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = suc j -> ( Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) <-> Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) ) )
15	14	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = suc j -> ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) <-> ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) ) ) )
16	15	biimpd 219	. . . . . . . . . 10 |- ( i = suc j -> ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) -> ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) ) ) )
17		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) e. _V
18		trpredlem1 31727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Pred ( R , A , X ) e. _V -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) C_ A )
19	7, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) C_ A )
20	19	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) -> z e. A ) )
21		setlikespec 5701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. A /\ R Se A ) -> Pred ( R , A , z ) e. _V )
22	21	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( R Se A -> ( z e. A -> Pred ( R , A , z ) e. _V ) )
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. A -> Pred ( R , A , z ) e. _V ) )
24	20, 23	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) -> Pred ( R , A , z ) e. _V ) )
25	24	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> A. z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) e. _V )
26		iunexg 7143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) e. _V /\ A. z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) e. _V ) -> U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) e. _V )
27	17, 25, 26	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) e. _V )
28		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ a Pred ( R , A , X )
29		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ a j
30		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ a ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) )
31	30, 28	nfrdg 7510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ a rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) )
32		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ a om
33	31, 32	nfres 5398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ a ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om )
34	33, 29	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ a ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j )
35		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ a Pred ( R , A , z )
36	34, 35	nfiun 4548	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ a U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z )
37		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) = ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om )
38		predeq3 5684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = z -> Pred ( R , A , y ) = Pred ( R , A , z ) )
39	38	cbviunv 4559	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U_ y e. a Pred ( R , A , y ) = U_ z e. a Pred ( R , A , z )
40		iuneq1 4534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) -> U_ z e. a Pred ( R , A , z ) = U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) )
41	39, 40	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) -> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) = U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) )
42	28, 29, 36, 37, 41	frsucmpt 7533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. om /\ U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) e. _V ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) = U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) )
43	27, 42	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. om /\ ( X e. A /\ R Se A ) ) -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) = U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) )
44	43	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. om /\ ( X e. A /\ R Se A ) ) -> ( Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) <-> Y e. U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) ) )
45	44	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. om /\ ( X e. A /\ R Se A ) ) -> ( Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) -> Y e. U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) ) )
46	45	expimpd 629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. om -> ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) ) -> Y e. U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) ) )
47		eliun 4524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Y e. U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) <-> E. z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Y e. Pred ( R , A , z ) )
48		ssiun2 4563	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. om -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) C_ U_ j e. om ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) )
49		dftrpred2 31719	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- TrPred ( R , A , X ) = U_ j e. om ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j )
50	48, 49	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. om -> ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) C_ TrPred ( R , A , X ) )
51	50	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. om -> ( z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) -> z e. TrPred ( R , A , X ) ) )
52		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- z e. _V
53	52	elpredim 5692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Y e. Pred ( R , A , z ) -> Y R z )
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. om -> ( Y e. Pred ( R , A , z ) -> Y R z ) )
55	51, 54	anim12d 586	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. om -> ( ( z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) /\ Y e. Pred ( R , A , z ) ) -> ( z e. TrPred ( R , A , X ) /\ Y R z ) ) )
56	55	reximdv2 3014	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. om -> ( E. z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Y e. Pred ( R , A , z ) -> E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) )
57	56	com12 32	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Y e. Pred ( R , A , z ) -> ( j e. om -> E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) )
58	47, 57	sylbi 207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. U_ z e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` j ) Pred ( R , A , z ) -> ( j e. om -> E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) )
59	46, 58	syl6com 37	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) ) -> ( j e. om -> ( j e. om -> E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) ) )
60	59	pm2.43d 53	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` suc j ) ) -> ( j e. om -> E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) )
61	16, 60	syl6com 37	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) -> ( i = suc j -> ( j e. om -> E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) ) )
62	61	com23 86	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) -> ( j e. om -> ( i = suc j -> E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) ) )
63	62	rexlimdv 3030	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) -> ( E. j e. om i = suc j -> E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) )
64	12, 63	orim12d 883	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. A /\ R Se A ) /\ Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) ) -> ( ( i = (/) \/ E. j e. om i = suc j ) -> ( Y e. Pred ( R , A , X ) \/ E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) ) )
65	64	ex 450	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) -> ( ( i = (/) \/ E. j e. om i = suc j ) -> ( Y e. Pred ( R , A , X ) \/ E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) ) ) )
66	65	com23 86	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( ( i = (/) \/ E. j e. om i = suc j ) -> ( Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) -> ( Y e. Pred ( R , A , X ) \/ E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) ) ) )
67	2, 66	syl5 34	. . 3 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( i e. om -> ( Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) -> ( Y e. Pred ( R , A , X ) \/ E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) ) ) )
68	67	rexlimdv 3030	. 2 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( E. i e. om Y e. ( ( rec ( ( a e. _V |-> U_ y e. a Pred ( R , A , y ) ) , Pred ( R , A , X ) ) |` om ) ` i ) -> ( Y e. Pred ( R , A , X ) \/ E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) ) )
69	1, 68	syl5bi 232	1 |- ( ( X e. A /\ R Se A ) -> ( Y e. TrPred ( R , A , X ) -> ( Y e. Pred ( R , A , X ) \/ E. z e. TrPred ( R , A , X ) Y R z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Se wse 5071   |` cres 5116   Predcpred 5679   suc csuc 5725   ` cfv 5888   omcom 7065   reccrdg 7505   TrPredctrpred 31717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-trpred 31718

This theorem is referenced by: (None)