Theorem eroprf 7845

Description: Functionality of an operation defined on equivalence classes. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eropr.1	|- J = ( A /. R )
eropr.2	|- K = ( B /. S )
eropr.3	|- ( ph -> T e. Z )
eropr.4	|- ( ph -> R Er U )
eropr.5	|- ( ph -> S Er V )
eropr.6	|- ( ph -> T Er W )
eropr.7	|- ( ph -> A C_ U )
eropr.8	|- ( ph -> B C_ V )
eropr.9	|- ( ph -> C C_ W )
eropr.10	|- ( ph -> .+ : ( A X. B ) --> C )
eropr.11	|- ( ( ph /\ ( ( r e. A /\ s e. A ) /\ ( t e. B /\ u e. B ) ) ) -> ( ( r R s /\ t S u ) -> ( r .+ t ) T ( s .+ u ) ) )
eropr.12	|- .+^ = { <. <. x , y >. , z >. | E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) }
eropr.13	|- ( ph -> R e. X )
eropr.14	|- ( ph -> S e. Y )
eropr.15	|- L = ( C /. T )

Assertion

Ref	Expression
eroprf	|- ( ph -> .+^ : ( J X. K ) --> L )

Distinct variable groups:   q, p, r, s, t, u, x, y, z, A   B, p, q, r, s, t, u, x, y, z   L, p, q, x, y, z   J, p, q, x, y, z   R, p, q, r, s, t, u, x, y, z   K, p, q, x, y, z   S, p, q, r, s, t, u, x, y, z   .+ , p, q, r, s, t, u, x, y, z   ph, p, q, r, s, t, u, x, y, z   T, p, q, r, s, t, u, x, y, z   X, p, q, r, s, t, u, z   Y, p, q, r, s, t, u, z

Allowed substitution hints:   C( x, y, z, u, t, s, r, q, p)   .+^ ( x, y, z, u, t, s, r, q, p)   U( x, y, z, u, t, s, r, q, p)   J( u, t, s, r)   K( u, t, s, r)   L( u, t, s, r)   V( x, y, z, u, t, s, r, q, p)   W( x, y, z, u, t, s, r, q, p)   X( x, y)   Y( x, y)   Z( x, y, z, u, t, s, r, q, p)

Proof of Theorem eroprf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eropr.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T e. Z )
2	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ ( p e. A /\ q e. B ) ) -> T e. Z )
3		eropr.10	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> .+ : ( A X. B ) --> C )
4	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> .+ : ( A X. B ) --> C )
5	4	fovrnda 6805	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ ( p e. A /\ q e. B ) ) -> ( p .+ q ) e. C )
6		ecelqsg 7802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. Z /\ ( p .+ q ) e. C ) -> [ ( p .+ q ) ] T e. ( C /. T ) )
7	2, 5, 6	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ ( p e. A /\ q e. B ) ) -> [ ( p .+ q ) ] T e. ( C /. T ) )
8		eropr.15	. . . . . . . . . 10 |- L = ( C /. T )
9	7, 8	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ ( p e. A /\ q e. B ) ) -> [ ( p .+ q ) ] T e. L )
10		eleq1a 2696	. . . . . . . . 9 |- ( [ ( p .+ q ) ] T e. L -> ( z = [ ( p .+ q ) ] T -> z e. L ) )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ ( p e. A /\ q e. B ) ) -> ( z = [ ( p .+ q ) ] T -> z e. L ) )
12	11	adantld 483	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) /\ ( p e. A /\ q e. B ) ) -> ( ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) -> z e. L ) )
13	12	rexlimdvva 3038	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) -> z e. L ) )
14	13	abssdv 3676	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> { z | E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) } C_ L )
15		eropr.1	. . . . . . 7 |- J = ( A /. R )
16		eropr.2	. . . . . . 7 |- K = ( B /. S )
17		eropr.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> R Er U )
18		eropr.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> S Er V )
19		eropr.6	. . . . . . 7 |- ( ph -> T Er W )
20		eropr.7	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ U )
21		eropr.8	. . . . . . 7 |- ( ph -> B C_ V )
22		eropr.9	. . . . . . 7 |- ( ph -> C C_ W )
23		eropr.11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( r e. A /\ s e. A ) /\ ( t e. B /\ u e. B ) ) ) -> ( ( r R s /\ t S u ) -> ( r .+ t ) T ( s .+ u ) ) )
24	15, 16, 1, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 3, 23	eroveu 7842	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> E! z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) )
25		iotacl 5874	. . . . . 6 |- ( E! z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) -> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) e. { z | E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) } )
26	24, 25	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) e. { z | E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) } )
27	14, 26	sseldd 3604	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. K ) ) -> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) e. L )
28	27	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ph -> A. x e. J A. y e. K ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) e. L )
29		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. J , y e. K |-> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) ) = ( x e. J , y e. K |-> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) )
30	29	fmpt2 7237	. . 3 |- ( A. x e. J A. y e. K ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) e. L <-> ( x e. J , y e. K |-> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) ) : ( J X. K ) --> L )
31	28, 30	sylib 208	. 2 |- ( ph -> ( x e. J , y e. K |-> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) ) : ( J X. K ) --> L )
32		eropr.12	. . . 4 |- .+^ = { <. <. x , y >. , z >. | E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) }
33	15, 16, 1, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 3, 23, 32	erovlem 7843	. . 3 |- ( ph -> .+^ = ( x e. J , y e. K |-> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) ) )
34	33	feq1d 6030	. 2 |- ( ph -> ( .+^ : ( J X. K ) --> L <-> ( x e. J , y e. K |-> ( iota z E. p e. A E. q e. B ( ( x = [ p ] R /\ y = [ q ] S ) /\ z = [ ( p .+ q ) ] T ) ) ) : ( J X. K ) --> L ) )
35	31, 34	mpbird 247	1 |- ( ph -> .+^ : ( J X. K ) --> L )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E!weu 2470   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   iotacio 5849   -->wf 5884  (class class class)co 6650   {coprab 6651   |-> cmpt2 6652   Er wer 7739   [cec 7740   /.cqs 7741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748

This theorem is referenced by:  eroprf2  7847