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Theorem evls1fval 19684
Description: Value of the univariate polynomial evaluation map function. (Contributed by AV, 7-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
evls1fval.q |- Q = ( S evalSub1 R )
evls1fval.e |- E = ( 1o evalSub S )
evls1fval.b |- B = ( Base ` S )
Assertion
Ref Expression
evls1fval |- ( ( S e. V /\ R e. ~P B ) -> Q = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( E ` R ) ) )
Distinct variable group:   x, B, y
Allowed substitution hints:   Q( x, y)   R( x, y)   S( x, y)   E( x, y)   V( x, y)
Proof of Theorem evls1fval
Dummy variables b r s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evls1fval.q . 2 |- Q = ( S evalSub1 R )
2 elex 3212 . . . 4 |- ( S e. V -> S e. _V )
32adantr 481 . . 3 |- ( ( S e. V /\ R e. ~P B ) -> S e. _V )
4 simpr 477 . . 3 |- ( ( S e. V /\ R e. ~P B ) -> R e. ~P B )
5 ovex 6678 . . . . . 6 |- ( B ^m ( B ^m 1o ) ) e. _V
65mptex 6486 . . . . 5 |- ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) e. _V
7 fvex 6201 . . . . 5 |- ( E ` R ) e. _V
86, 7coex 7118 . . . 4 |- ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( E ` R ) ) e. _V
98a1i 11 . . 3 |- ( ( S e. V /\ R e. ~P B ) -> ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( E ` R ) ) e. _V )
10 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = ( Base ` S ) )
1110adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( Base ` s ) = ( Base ` S ) )
12 evls1fval.b . . . . . . 7 |- B = ( Base ` S )
1311, 12syl6eqr 2674 . . . . . 6 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( Base ` s ) = B )
1413csbeq1d 3540 . . . . 5 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> [_ ( Base ` s ) / b ]_ ( ( x e. ( b ^m ( b ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. b |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub s ) ` r ) ) = [_ B / b ]_ ( ( x e. ( b ^m ( b ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. b |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub s ) ` r ) ) )
15 fvex 6201 . . . . . . . 8 |- ( Base ` S ) e. _V
1612, 15eqeltri 2697 . . . . . . 7 |- B e. _V
1716a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> B e. _V )
18 id 22 . . . . . . . . . 10 |- ( b = B -> b = B )
19 oveq1 6657 . . . . . . . . . 10 |- ( b = B -> ( b ^m 1o ) = ( B ^m 1o ) )
2018, 19oveq12d 6668 . . . . . . . . 9 |- ( b = B -> ( b ^m ( b ^m 1o ) ) = ( B ^m ( B ^m 1o ) ) )
21 mpteq1 4737 . . . . . . . . . 10 |- ( b = B -> ( y e. b |-> ( 1o X. { y } ) ) = ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) )
2221coeq2d 5284 . . . . . . . . 9 |- ( b = B -> ( x o. ( y e. b |-> ( 1o X. { y } ) ) ) = ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) )
2320, 22mpteq12dv 4733 . . . . . . . 8 |- ( b = B -> ( x e. ( b ^m ( b ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. b |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) = ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) )
2423coeq1d 5283 . . . . . . 7 |- ( b = B -> ( ( x e. ( b ^m ( b ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. b |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub s ) ` r ) ) = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub s ) ` r ) ) )
2524adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( ( s = S /\ r = R ) /\ b = B ) -> ( ( x e. ( b ^m ( b ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. b |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub s ) ` r ) ) = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub s ) ` r ) ) )
2617, 25csbied 3560 . . . . 5 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> [_ B / b ]_ ( ( x e. ( b ^m ( b ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. b |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub s ) ` r ) ) = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub s ) ` r ) ) )
27 oveq2 6658 . . . . . . . . 9 |- ( s = S -> ( 1o evalSub s ) = ( 1o evalSub S ) )
28 evls1fval.e . . . . . . . . 9 |- E = ( 1o evalSub S )
2927, 28syl6eqr 2674 . . . . . . . 8 |- ( s = S -> ( 1o evalSub s ) = E )
3029adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( 1o evalSub s ) = E )
31 simpr 477 . . . . . . 7 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> r = R )
3230, 31fveq12d 6197 . . . . . 6 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( ( 1o evalSub s ) ` r ) = ( E ` R ) )
3332coeq2d 5284 . . . . 5 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub s ) ` r ) ) = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( E ` R ) ) )
3414, 26, 333eqtrd 2660 . . . 4 |- ( ( s = S /\ r = R ) -> [_ ( Base ` s ) / b ]_ ( ( x e. ( b ^m ( b ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. b |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub s ) ` r ) ) = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( E ` R ) ) )
3510, 12syl6eqr 2674 . . . . 5 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = B )
3635pweqd 4163 . . . 4 |- ( s = S -> ~P ( Base ` s ) = ~P B )
37 df-evls1 19680 . . . 4 |- evalSub1 = ( s e. _V , r e. ~P ( Base ` s ) |-> [_ ( Base ` s ) / b ]_ ( ( x e. ( b ^m ( b ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. b |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( ( 1o evalSub s ) ` r ) ) )
3834, 36, 37ovmpt2x 6789 . . 3 |- ( ( S e. _V /\ R e. ~P B /\ ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( E ` R ) ) e. _V ) -> ( S evalSub1 R ) = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( E ` R ) ) )
393, 4, 9, 38syl3anc 1326 . 2 |- ( ( S e. V /\ R e. ~P B ) -> ( S evalSub1 R ) = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( E ` R ) ) )
401, 39syl5eq 2668 1 |- ( ( S e. V /\ R e. ~P B ) -> Q = ( ( x e. ( B ^m ( B ^m 1o ) ) |-> ( x o. ( y e. B |-> ( 1o X. { y } ) ) ) ) o. ( E ` R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   [_csb 3533   ~Pcpw 4158   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1oc1o 7553   ^m cmap 7857   Basecbs 15857   evalSub ces 19504   evalSub1 ces1 19678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-evls1 19680
This theorem is referenced by:  evls1val  19685  evls1rhm  19687  evls1sca  19688  evl1fval1lem  19694
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