Theorem evlsval 19519

Description: Value of the polynomial evaluation map function. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsval.q	|- Q = ( ( I evalSub S ) ` R )
evlsval.w	|- W = ( I mPoly U )
evlsval.v	|- V = ( I mVar U )
evlsval.u	|- U = ( S ↾s R )
evlsval.t	|- T = ( S ^s ( B ^m I ) )
evlsval.b	|- B = ( Base ` S )
evlsval.a	|- A = (algSc ` W )
evlsval.x	|- X = ( x e. R |-> ( ( B ^m I ) X. { x } ) )
evlsval.y	|- Y = ( x e. I |-> ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
evlsval	|- ( ( I e. Z /\ S e. CRing /\ R e. (SubRing ` S ) ) -> Q = ( iota_ f e. ( W RingHom T ) ( ( f o. A ) = X /\ ( f o. V ) = Y ) ) )

Distinct variable groups:   f, I, g, x   R, f, x   S, f, g, x   T, f   f, W

Allowed substitution hints:   A( x, f, g)   B( x, f, g)   Q( x, f, g)   R( g)   T( x, g)   U( x, f, g)   V( x, f, g)   W( x, g)   X( x, f, g)   Y( x, f, g)   Z( x, f, g)

Proof of Theorem evlsval

Dummy variables b i r s w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsval.q	. . . 4 |- Q = ( ( I evalSub S ) ` R )
2		elex 3212	. . . . 5 |- ( I e. Z -> I e. _V )
3		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( s = S -> ( Base ` s ) = ( Base ` S ) )
4	3	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = I /\ s = S ) -> ( Base ` s ) = ( Base ` S ) )
5	4	csbeq1d 3540	. . . . . . . 8 |- ( ( i = I /\ s = S ) -> [_ ( Base ` s ) / b ]_ ( r e. (SubRing ` s ) |-> [_ ( i mPoly ( s ↾s r ) ) / w ]_ ( iota_ f e. ( w RingHom ( s ^s ( b ^m i ) ) ) ( ( f o. (algSc ` w ) ) = ( x e. r |-> ( ( b ^m i ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( i mVar ( s ↾s r ) ) ) = ( x e. i |-> ( g e. ( b ^m i ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) ) = [_ ( Base ` S ) / b ]_ ( r e. (SubRing ` s ) |-> [_ ( i mPoly ( s ↾s r ) ) / w ]_ ( iota_ f e. ( w RingHom ( s ^s ( b ^m i ) ) ) ( ( f o. (algSc ` w ) ) = ( x e. r |-> ( ( b ^m i ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( i mVar ( s ↾s r ) ) ) = ( x e. i |-> ( g e. ( b ^m i ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) ) )
6		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` S ) e. _V
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = I /\ s = S ) -> ( Base ` S ) e. _V )
8		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( i = I /\ s = S ) /\ b = ( Base ` S ) ) -> s = S )
9	8	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( i = I /\ s = S ) /\ b = ( Base ` S ) ) -> (SubRing ` s ) = (SubRing ` S ) )
10		simpll 790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( i = I /\ s = S ) /\ b = ( Base ` S ) ) -> i = I )
11		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = S -> ( s ↾s r ) = ( S ↾s r ) )
12	11	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( i = I /\ s = S ) /\ b = ( Base ` S ) ) -> ( s ↾s r ) = ( S ↾s r ) )
13	10, 12	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( i = I /\ s = S ) /\ b = ( Base ` S ) ) -> ( i mPoly ( s ↾s r ) ) = ( I mPoly ( S ↾s r ) ) )
14	13	csbeq1d 3540	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( i = I /\ s = S ) /\ b = ( Base ` S ) ) -> [_ ( i mPoly ( s ↾s r ) ) / w ]_ ( iota_ f e. ( w RingHom ( s ^s ( b ^m i ) ) ) ( ( f o. (algSc ` w ) ) = ( x e. r |-> ( ( b ^m i ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( i mVar ( s ↾s r ) ) ) = ( x e. i |-> ( g e. ( b ^m i ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) = [_ ( I mPoly ( S ↾s r ) ) / w ]_ ( iota_ f e. ( w RingHom ( s ^s ( b ^m i ) ) ) ( ( f o. (algSc ` w ) ) = ( x e. r |-> ( ( b ^m i ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( i mVar ( s ↾s r ) ) ) = ( x e. i |-> ( g e. ( b ^m i ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) )
15		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( i = I /\ s = S ) /\ b = ( Base ` S ) ) -> ( I mPoly ( S ↾s r ) ) e. _V )
16		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( i = I /\ s = S ) /\ ( b = ( Base ` S ) /\ w = ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) -> w = ( I mPoly ( S ↾s r ) ) )
17		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( i = I /\ s = S ) /\ ( b = ( Base ` S ) /\ w = ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) -> s = S )
18		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( i = I /\ s = S ) /\ ( b = ( Base ` S ) /\ w = ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) -> b = ( Base ` S ) )
19		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( i = I /\ s = S ) /\ ( b = ( Base ` S ) /\ w = ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) -> i = I )
20	18, 19	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( i = I /\ s = S ) /\ ( b = ( Base ` S ) /\ w = ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) -> ( b ^m i ) = ( ( Base ` S ) ^m I ) )
21	17, 20	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( i = I /\ s = S ) /\ ( b = ( Base ` S ) /\ w = ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) -> ( s ^s ( b ^m i ) ) = ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) )
22	16, 21	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( i = I /\ s = S ) /\ ( b = ( Base ` S ) /\ w = ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) -> ( w RingHom ( s ^s ( b ^m i ) ) ) = ( ( I mPoly ( S ↾s r ) ) RingHom ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) )
23	16	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( i = I /\ s = S ) /\ ( b = ( Base ` S ) /\ w = ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) -> (algSc ` w ) = (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) )
24	23	coeq2d 5284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( i = I /\ s = S ) /\ ( b = ( Base ` S ) /\ w = ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) -> ( f o. (algSc ` w ) ) = ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) )
25	20	xpeq1d 5138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( i = I /\ s = S ) /\ ( b = ( Base ` S ) /\ w = ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) -> ( ( b ^m i ) X. { x } ) = ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) )
26	25	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( i = I /\ s = S ) /\ ( b = ( Base ` S ) /\ w = ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) -> ( x e. r |-> ( ( b ^m i ) X. { x } ) ) = ( x e. r |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) )
27	24, 26	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( i = I /\ s = S ) /\ ( b = ( Base ` S ) /\ w = ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) -> ( ( f o. (algSc ` w ) ) = ( x e. r |-> ( ( b ^m i ) X. { x } ) ) <-> ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) = ( x e. r |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) ) )
28	17	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( i = I /\ s = S ) /\ ( b = ( Base ` S ) /\ w = ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) -> ( s ↾s r ) = ( S ↾s r ) )
29	19, 28	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( i = I /\ s = S ) /\ ( b = ( Base ` S ) /\ w = ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) -> ( i mVar ( s ↾s r ) ) = ( I mVar ( S ↾s r ) ) )
30	29	coeq2d 5284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( i = I /\ s = S ) /\ ( b = ( Base ` S ) /\ w = ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) -> ( f o. ( i mVar ( s ↾s r ) ) ) = ( f o. ( I mVar ( S ↾s r ) ) ) )
31	20	mpteq1d 4738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( i = I /\ s = S ) /\ ( b = ( Base ` S ) /\ w = ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) -> ( g e. ( b ^m i ) |-> ( g ` x ) ) = ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) )
32	19, 31	mpteq12dv 4733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( i = I /\ s = S ) /\ ( b = ( Base ` S ) /\ w = ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) -> ( x e. i |-> ( g e. ( b ^m i ) |-> ( g ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) )
33	30, 32	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( i = I /\ s = S ) /\ ( b = ( Base ` S ) /\ w = ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) -> ( ( f o. ( i mVar ( s ↾s r ) ) ) = ( x e. i |-> ( g e. ( b ^m i ) |-> ( g ` x ) ) ) <-> ( f o. ( I mVar ( S ↾s r ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) ) )
34	27, 33	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( i = I /\ s = S ) /\ ( b = ( Base ` S ) /\ w = ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) -> ( ( ( f o. (algSc ` w ) ) = ( x e. r |-> ( ( b ^m i ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( i mVar ( s ↾s r ) ) ) = ( x e. i |-> ( g e. ( b ^m i ) |-> ( g ` x ) ) ) ) <-> ( ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) = ( x e. r |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( I mVar ( S ↾s r ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) )
35	22, 34	riotaeqbidv 6614	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( i = I /\ s = S ) /\ ( b = ( Base ` S ) /\ w = ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) -> ( iota_ f e. ( w RingHom ( s ^s ( b ^m i ) ) ) ( ( f o. (algSc ` w ) ) = ( x e. r |-> ( ( b ^m i ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( i mVar ( s ↾s r ) ) ) = ( x e. i |-> ( g e. ( b ^m i ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) = ( iota_ f e. ( ( I mPoly ( S ↾s r ) ) RingHom ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) = ( x e. r |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( I mVar ( S ↾s r ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) )
36	35	anassrs 680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( i = I /\ s = S ) /\ b = ( Base ` S ) ) /\ w = ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) -> ( iota_ f e. ( w RingHom ( s ^s ( b ^m i ) ) ) ( ( f o. (algSc ` w ) ) = ( x e. r |-> ( ( b ^m i ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( i mVar ( s ↾s r ) ) ) = ( x e. i |-> ( g e. ( b ^m i ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) = ( iota_ f e. ( ( I mPoly ( S ↾s r ) ) RingHom ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) = ( x e. r |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( I mVar ( S ↾s r ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) )
37	15, 36	csbied 3560	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( i = I /\ s = S ) /\ b = ( Base ` S ) ) -> [_ ( I mPoly ( S ↾s r ) ) / w ]_ ( iota_ f e. ( w RingHom ( s ^s ( b ^m i ) ) ) ( ( f o. (algSc ` w ) ) = ( x e. r |-> ( ( b ^m i ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( i mVar ( s ↾s r ) ) ) = ( x e. i |-> ( g e. ( b ^m i ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) = ( iota_ f e. ( ( I mPoly ( S ↾s r ) ) RingHom ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) = ( x e. r |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( I mVar ( S ↾s r ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) )
38	14, 37	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( i = I /\ s = S ) /\ b = ( Base ` S ) ) -> [_ ( i mPoly ( s ↾s r ) ) / w ]_ ( iota_ f e. ( w RingHom ( s ^s ( b ^m i ) ) ) ( ( f o. (algSc ` w ) ) = ( x e. r |-> ( ( b ^m i ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( i mVar ( s ↾s r ) ) ) = ( x e. i |-> ( g e. ( b ^m i ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) = ( iota_ f e. ( ( I mPoly ( S ↾s r ) ) RingHom ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) = ( x e. r |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( I mVar ( S ↾s r ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) )
39	9, 38	mpteq12dv 4733	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( i = I /\ s = S ) /\ b = ( Base ` S ) ) -> ( r e. (SubRing ` s ) |-> [_ ( i mPoly ( s ↾s r ) ) / w ]_ ( iota_ f e. ( w RingHom ( s ^s ( b ^m i ) ) ) ( ( f o. (algSc ` w ) ) = ( x e. r |-> ( ( b ^m i ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( i mVar ( s ↾s r ) ) ) = ( x e. i |-> ( g e. ( b ^m i ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) ) = ( r e. (SubRing ` S ) |-> ( iota_ f e. ( ( I mPoly ( S ↾s r ) ) RingHom ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) = ( x e. r |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( I mVar ( S ↾s r ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) ) )
40	7, 39	csbied 3560	. . . . . . . 8 |- ( ( i = I /\ s = S ) -> [_ ( Base ` S ) / b ]_ ( r e. (SubRing ` s ) |-> [_ ( i mPoly ( s ↾s r ) ) / w ]_ ( iota_ f e. ( w RingHom ( s ^s ( b ^m i ) ) ) ( ( f o. (algSc ` w ) ) = ( x e. r |-> ( ( b ^m i ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( i mVar ( s ↾s r ) ) ) = ( x e. i |-> ( g e. ( b ^m i ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) ) = ( r e. (SubRing ` S ) |-> ( iota_ f e. ( ( I mPoly ( S ↾s r ) ) RingHom ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) = ( x e. r |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( I mVar ( S ↾s r ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) ) )
41	5, 40	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( i = I /\ s = S ) -> [_ ( Base ` s ) / b ]_ ( r e. (SubRing ` s ) |-> [_ ( i mPoly ( s ↾s r ) ) / w ]_ ( iota_ f e. ( w RingHom ( s ^s ( b ^m i ) ) ) ( ( f o. (algSc ` w ) ) = ( x e. r |-> ( ( b ^m i ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( i mVar ( s ↾s r ) ) ) = ( x e. i |-> ( g e. ( b ^m i ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) ) = ( r e. (SubRing ` S ) |-> ( iota_ f e. ( ( I mPoly ( S ↾s r ) ) RingHom ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) = ( x e. r |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( I mVar ( S ↾s r ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) ) )
42		df-evls 19506	. . . . . . 7 |- evalSub = ( i e. _V , s e. CRing |-> [_ ( Base ` s ) / b ]_ ( r e. (SubRing ` s ) |-> [_ ( i mPoly ( s ↾s r ) ) / w ]_ ( iota_ f e. ( w RingHom ( s ^s ( b ^m i ) ) ) ( ( f o. (algSc ` w ) ) = ( x e. r |-> ( ( b ^m i ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( i mVar ( s ↾s r ) ) ) = ( x e. i |-> ( g e. ( b ^m i ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) ) )
43		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- (SubRing ` S ) e. _V
44	43	mptex 6486	. . . . . . 7 |- ( r e. (SubRing ` S ) |-> ( iota_ f e. ( ( I mPoly ( S ↾s r ) ) RingHom ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) = ( x e. r |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( I mVar ( S ↾s r ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) ) e. _V
45	41, 42, 44	ovmpt2a 6791	. . . . . 6 |- ( ( I e. _V /\ S e. CRing ) -> ( I evalSub S ) = ( r e. (SubRing ` S ) |-> ( iota_ f e. ( ( I mPoly ( S ↾s r ) ) RingHom ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) = ( x e. r |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( I mVar ( S ↾s r ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) ) )
46	45	fveq1d 6193	. . . . 5 |- ( ( I e. _V /\ S e. CRing ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) = ( ( r e. (SubRing ` S ) |-> ( iota_ f e. ( ( I mPoly ( S ↾s r ) ) RingHom ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) = ( x e. r |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( I mVar ( S ↾s r ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) ) ` R ) )
47	2, 46	sylan 488	. . . 4 |- ( ( I e. Z /\ S e. CRing ) -> ( ( I evalSub S ) ` R ) = ( ( r e. (SubRing ` S ) |-> ( iota_ f e. ( ( I mPoly ( S ↾s r ) ) RingHom ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) = ( x e. r |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( I mVar ( S ↾s r ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) ) ` R ) )
48	1, 47	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ( I e. Z /\ S e. CRing ) -> Q = ( ( r e. (SubRing ` S ) |-> ( iota_ f e. ( ( I mPoly ( S ↾s r ) ) RingHom ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) = ( x e. r |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( I mVar ( S ↾s r ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) ) ` R ) )
49	48	3adant3 1081	. 2 |- ( ( I e. Z /\ S e. CRing /\ R e. (SubRing ` S ) ) -> Q = ( ( r e. (SubRing ` S ) |-> ( iota_ f e. ( ( I mPoly ( S ↾s r ) ) RingHom ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) = ( x e. r |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( I mVar ( S ↾s r ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) ) ` R ) )
50		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( S ↾s r ) = ( S ↾s R ) )
51	50	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( I mPoly ( S ↾s r ) ) = ( I mPoly ( S ↾s R ) ) )
52	51	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( r = R -> ( ( I mPoly ( S ↾s r ) ) RingHom ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) = ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) RingHom ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) )
53	51	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) = (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
54	53	coeq2d 5284	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) = ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) )
55		mpteq1 4737	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( x e. r |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) = ( x e. R |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) )
56	54, 55	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) = ( x e. r |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) <-> ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) = ( x e. R |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) ) )
57	50	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( I mVar ( S ↾s r ) ) = ( I mVar ( S ↾s R ) ) )
58	57	coeq2d 5284	. . . . . . . 8 |- ( r = R -> ( f o. ( I mVar ( S ↾s r ) ) ) = ( f o. ( I mVar ( S ↾s R ) ) ) )
59	58	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( r = R -> ( ( f o. ( I mVar ( S ↾s r ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) <-> ( f o. ( I mVar ( S ↾s R ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) ) )
60	56, 59	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( r = R -> ( ( ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) = ( x e. r |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( I mVar ( S ↾s r ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) ) <-> ( ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) = ( x e. R |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( I mVar ( S ↾s R ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) )
61	52, 60	riotaeqbidv 6614	. . . . 5 |- ( r = R -> ( iota_ f e. ( ( I mPoly ( S ↾s r ) ) RingHom ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) = ( x e. r |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( I mVar ( S ↾s r ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) = ( iota_ f e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) RingHom ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) = ( x e. R |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( I mVar ( S ↾s R ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) )
62		eqid 2622	. . . . 5 |- ( r e. (SubRing ` S ) |-> ( iota_ f e. ( ( I mPoly ( S ↾s r ) ) RingHom ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) = ( x e. r |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( I mVar ( S ↾s r ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) ) = ( r e. (SubRing ` S ) |-> ( iota_ f e. ( ( I mPoly ( S ↾s r ) ) RingHom ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) = ( x e. r |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( I mVar ( S ↾s r ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) )
63		riotaex 6615	. . . . 5 |- ( iota_ f e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) RingHom ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) = ( x e. R |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( I mVar ( S ↾s R ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) e. _V
64	61, 62, 63	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( R e. (SubRing ` S ) -> ( ( r e. (SubRing ` S ) |-> ( iota_ f e. ( ( I mPoly ( S ↾s r ) ) RingHom ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) = ( x e. r |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( I mVar ( S ↾s r ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) ) ` R ) = ( iota_ f e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) RingHom ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) = ( x e. R |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( I mVar ( S ↾s R ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) )
65		evlsval.w	. . . . . . . . 9 |- W = ( I mPoly U )
66		evlsval.u	. . . . . . . . . 10 |- U = ( S ↾s R )
67	66	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9 |- ( I mPoly U ) = ( I mPoly ( S ↾s R ) )
68	65, 67	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- W = ( I mPoly ( S ↾s R ) )
69		evlsval.t	. . . . . . . . 9 |- T = ( S ^s ( B ^m I ) )
70		evlsval.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` S )
71	70	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 |- ( B ^m I ) = ( ( Base ` S ) ^m I )
72	71	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9 |- ( S ^s ( B ^m I ) ) = ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) )
73	69, 72	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- T = ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) )
74	68, 73	oveq12i 6662	. . . . . . 7 |- ( W RingHom T ) = ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) RingHom ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) )
75	74	a1i 11	. . . . . 6 |- ( T. -> ( W RingHom T ) = ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) RingHom ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) )
76		evlsval.a	. . . . . . . . . . 11 |- A = (algSc ` W )
77	68	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . 11 |- (algSc ` W ) = (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) )
78	76, 77	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- A = (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) )
79	78	coeq2i 5282	. . . . . . . . 9 |- ( f o. A ) = ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) )
80		evlsval.x	. . . . . . . . . 10 |- X = ( x e. R |-> ( ( B ^m I ) X. { x } ) )
81	71	xpeq1i 5135	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B ^m I ) X. { x } ) = ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } )
82	81	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. R |-> ( ( B ^m I ) X. { x } ) ) = ( x e. R |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) )
83	80, 82	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- X = ( x e. R |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) )
84	79, 83	eqeq12i 2636	. . . . . . . 8 |- ( ( f o. A ) = X <-> ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) = ( x e. R |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) )
85		evlsval.v	. . . . . . . . . . 11 |- V = ( I mVar U )
86	66	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 |- ( I mVar U ) = ( I mVar ( S ↾s R ) )
87	85, 86	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- V = ( I mVar ( S ↾s R ) )
88	87	coeq2i 5282	. . . . . . . . 9 |- ( f o. V ) = ( f o. ( I mVar ( S ↾s R ) ) )
89		evlsval.y	. . . . . . . . . 10 |- Y = ( x e. I |-> ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` x ) ) )
90		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g ` x ) = ( g ` x )
91	71, 90	mpteq12i 4742	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` x ) ) = ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) )
92	91	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. I |-> ( g e. ( B ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) )
93	89, 92	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- Y = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) )
94	88, 93	eqeq12i 2636	. . . . . . . 8 |- ( ( f o. V ) = Y <-> ( f o. ( I mVar ( S ↾s R ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) )
95	84, 94	anbi12i 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( f o. A ) = X /\ ( f o. V ) = Y ) <-> ( ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) = ( x e. R |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( I mVar ( S ↾s R ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) ) )
96	95	a1i 11	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( ( f o. A ) = X /\ ( f o. V ) = Y ) <-> ( ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) = ( x e. R |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( I mVar ( S ↾s R ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) )
97	75, 96	riotaeqbidv 6614	. . . . 5 |- ( T. -> ( iota_ f e. ( W RingHom T ) ( ( f o. A ) = X /\ ( f o. V ) = Y ) ) = ( iota_ f e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) RingHom ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) = ( x e. R |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( I mVar ( S ↾s R ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) )
98	97	trud 1493	. . . 4 |- ( iota_ f e. ( W RingHom T ) ( ( f o. A ) = X /\ ( f o. V ) = Y ) ) = ( iota_ f e. ( ( I mPoly ( S ↾s R ) ) RingHom ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s R ) ) ) ) = ( x e. R |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( I mVar ( S ↾s R ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) ) )
99	64, 98	syl6eqr 2674	. . 3 |- ( R e. (SubRing ` S ) -> ( ( r e. (SubRing ` S ) |-> ( iota_ f e. ( ( I mPoly ( S ↾s r ) ) RingHom ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) = ( x e. r |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( I mVar ( S ↾s r ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) ) ` R ) = ( iota_ f e. ( W RingHom T ) ( ( f o. A ) = X /\ ( f o. V ) = Y ) ) )
100	99	3ad2ant3 1084	. 2 |- ( ( I e. Z /\ S e. CRing /\ R e. (SubRing ` S ) ) -> ( ( r e. (SubRing ` S ) |-> ( iota_ f e. ( ( I mPoly ( S ↾s r ) ) RingHom ( S ^s ( ( Base ` S ) ^m I ) ) ) ( ( f o. (algSc ` ( I mPoly ( S ↾s r ) ) ) ) = ( x e. r |-> ( ( ( Base ` S ) ^m I ) X. { x } ) ) /\ ( f o. ( I mVar ( S ↾s r ) ) ) = ( x e. I |-> ( g e. ( ( Base ` S ) ^m I ) |-> ( g ` x ) ) ) ) ) ) ` R ) = ( iota_ f e. ( W RingHom T ) ( ( f o. A ) = X /\ ( f o. V ) = Y ) ) )
101	49, 100	eqtrd 2656	1 |- ( ( I e. Z /\ S e. CRing /\ R e. (SubRing ` S ) ) -> Q = ( iota_ f e. ( W RingHom T ) ( ( f o. A ) = X /\ ( f o. V ) = Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   [_csb 3533   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   o. ccom 5118   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   ^_s cpws 16107   CRingccrg 18548   RingHom crh 18712  SubRingcsubrg 18776  algSccascl 19311   mVar cmvr 19352   mPoly cmpl 19353   evalSub ces 19504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-evls 19506

This theorem is referenced by:  evlsval2  19520