Theorem fclsbas 21825

Description: Cluster points in terms of filter bases. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fclsbas.f	|- F = ( X filGen B )

Assertion

Ref	Expression
fclsbas	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, o   o, s, B   o, F   o, J   o, X

Allowed substitution hints:   A( s)   F( s)   J( s)   X( s)

Proof of Theorem fclsbas

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fclsbas.f	. . . 4 |- F = ( X filGen B )
2		fgcl 21682	. . . . 5 |- ( B e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen B ) e. ( Fil ` X ) )
3	2	adantl 482	. . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> ( X filGen B ) e. ( Fil ` X ) )
4	1, 3	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> F e. ( Fil ` X ) )
5		fclsopn 21818	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) ) ) ) )
6	4, 5	syldan 487	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) ) ) ) )
7		ssfg 21676	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( fBas ` X ) -> B C_ ( X filGen B ) )
8	7	ad3antlr 767	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> B C_ ( X filGen B ) )
9	8, 1	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> B C_ F )
10		ssralv 3666	. . . . . . . . 9 |- ( B C_ F -> ( A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) -> A. t e. B ( o i^i t ) =/= (/) ) )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) -> A. t e. B ( o i^i t ) =/= (/) ) )
12		ineq2 3808	. . . . . . . . . 10 |- ( t = s -> ( o i^i t ) = ( o i^i s ) )
13	12	neeq1d 2853	. . . . . . . . 9 |- ( t = s -> ( ( o i^i t ) =/= (/) <-> ( o i^i s ) =/= (/) ) )
14	13	cbvralv 3171	. . . . . . . 8 |- ( A. t e. B ( o i^i t ) =/= (/) <-> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) )
15	11, 14	syl6ib 241	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) -> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) )
16	1	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. F <-> t e. ( X filGen B ) )
17		elfg 21675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. ( fBas ` X ) -> ( t e. ( X filGen B ) <-> ( t C_ X /\ E. s e. B s C_ t ) ) )
18	17	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( t e. ( X filGen B ) <-> ( t C_ X /\ E. s e. B s C_ t ) ) )
19	16, 18	syl5bb 272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( t e. F <-> ( t C_ X /\ E. s e. B s C_ t ) ) )
20	19	simplbda 654	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) /\ t e. F ) -> E. s e. B s C_ t )
21		r19.29r 3073	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E. s e. B s C_ t /\ A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) -> E. s e. B ( s C_ t /\ ( o i^i s ) =/= (/) ) )
22		sslin 3839	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s C_ t -> ( o i^i s ) C_ ( o i^i t ) )
23		ssn0 3976	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( o i^i s ) C_ ( o i^i t ) /\ ( o i^i s ) =/= (/) ) -> ( o i^i t ) =/= (/) )
24	22, 23	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s C_ t /\ ( o i^i s ) =/= (/) ) -> ( o i^i t ) =/= (/) )
25	24	rexlimivw 3029	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. s e. B ( s C_ t /\ ( o i^i s ) =/= (/) ) -> ( o i^i t ) =/= (/) )
26	21, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. s e. B s C_ t /\ A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) -> ( o i^i t ) =/= (/) )
27	26	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( E. s e. B s C_ t -> ( A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) -> ( o i^i t ) =/= (/) ) )
28	20, 27	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) /\ t e. F ) -> ( A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) -> ( o i^i t ) =/= (/) ) )
29	28	ralrimdva 2969	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) -> A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) ) )
30	15, 29	impbid 202	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ ( o e. J /\ A e. o ) ) -> ( A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) <-> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) )
31	30	anassrs 680	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ o e. J ) /\ A e. o ) -> ( A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) <-> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) )
32	31	pm5.74da 723	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) /\ o e. J ) -> ( ( A e. o -> A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) ) <-> ( A e. o -> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) ) )
33	32	ralbidva 2985	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) ) <-> A. o e. J ( A e. o -> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) ) )
34	33	pm5.32da 673	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> ( ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. t e. F ( o i^i t ) =/= (/) ) ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) ) ) )
35	6, 34	bitrd 268	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` X ) ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. B ( o i^i s ) =/= (/) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   fBascfbas 19734   filGencfg 19735  TopOnctopon 20715   Filcfil 21649   fClus cfcls 21740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-fil 21650  df-fcls 21745

This theorem is referenced by: (None)