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Theorem fclsopn 21818
Description: Write the cluster point condition in terms of open sets. (Contributed by Jeff Hankins, 10-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclsopn |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. F ( o i^i s ) =/= (/) ) ) ) )
Distinct variable groups:   o, s, A   o, F, s   o, J, s   o, X, s
Proof of Theorem fclsopn
StepHypRef Expression
1 isfcls2 21817 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) )
2 filn0 21666 . . . . . 6 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F =/= (/) )
32adantl 482 . . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> F =/= (/) )
4 r19.2z 4060 . . . . . 6 |- ( ( F =/= (/) /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) -> E. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) )
54ex 450 . . . . 5 |- ( F =/= (/) -> ( A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) -> E. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) )
63, 5syl 17 . . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) -> E. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) )
7 topontop 20718 . . . . . . . . 9 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
87ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ s e. F ) -> J e. Top )
9 filelss 21656 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( Fil ` X ) /\ s e. F ) -> s C_ X )
109adantll 750 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ s e. F ) -> s C_ X )
11 toponuni 20719 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
1211ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ s e. F ) -> X = U. J )
1310, 12sseqtrd 3641 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ s e. F ) -> s C_ U. J )
14 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
1514clsss3 20863 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ s C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` s ) C_ U. J )
168, 13, 15syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ s e. F ) -> ( ( cls ` J ) ` s ) C_ U. J )
1716, 12sseqtr4d 3642 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ s e. F ) -> ( ( cls ` J ) ` s ) C_ X )
1817sseld 3602 . . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ s e. F ) -> ( A e. ( ( cls ` J ) ` s ) -> A e. X ) )
1918rexlimdva 3031 . . . 4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( E. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) -> A e. X ) )
206, 19syld 47 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) -> A e. X ) )
2120pm4.71rd 667 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) <-> ( A e. X /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) ) )
227ad3antrrr 766 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ s e. F ) -> J e. Top )
2313adantlr 751 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ s e. F ) -> s C_ U. J )
24 simplr 792 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ s e. F ) -> A e. X )
2511ad3antrrr 766 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ s e. F ) -> X = U. J )
2624, 25eleqtrd 2703 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ s e. F ) -> A e. U. J )
2714elcls 20877 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ s C_ U. J /\ A e. U. J ) -> ( A e. ( ( cls ` J ) ` s ) <-> A. o e. J ( A e. o -> ( o i^i s ) =/= (/) ) ) )
2822, 23, 26, 27syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) /\ s e. F ) -> ( A e. ( ( cls ` J ) ` s ) <-> A. o e. J ( A e. o -> ( o i^i s ) =/= (/) ) ) )
2928ralbidva 2985 . . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) <-> A. s e. F A. o e. J ( A e. o -> ( o i^i s ) =/= (/) ) ) )
30 ralcom 3098 . . . . 5 |- ( A. s e. F A. o e. J ( A e. o -> ( o i^i s ) =/= (/) ) <-> A. o e. J A. s e. F ( A e. o -> ( o i^i s ) =/= (/) ) )
31 r19.21v 2960 . . . . . 6 |- ( A. s e. F ( A e. o -> ( o i^i s ) =/= (/) ) <-> ( A e. o -> A. s e. F ( o i^i s ) =/= (/) ) )
3231ralbii 2980 . . . . 5 |- ( A. o e. J A. s e. F ( A e. o -> ( o i^i s ) =/= (/) ) <-> A. o e. J ( A e. o -> A. s e. F ( o i^i s ) =/= (/) ) )
3330, 32bitri 264 . . . 4 |- ( A. s e. F A. o e. J ( A e. o -> ( o i^i s ) =/= (/) ) <-> A. o e. J ( A e. o -> A. s e. F ( o i^i s ) =/= (/) ) )
3429, 33syl6bb 276 . . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) /\ A e. X ) -> ( A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) <-> A. o e. J ( A e. o -> A. s e. F ( o i^i s ) =/= (/) ) ) )
3534pm5.32da 673 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( ( A e. X /\ A. s e. F A e. ( ( cls ` J ) ` s ) ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. F ( o i^i s ) =/= (/) ) ) ) )
361, 21, 353bitrd 294 1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ F e. ( Fil ` X ) ) -> ( A e. ( J fClus F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> A. s e. F ( o i^i s ) =/= (/) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   clsccl 20822   Filcfil 21649   fClus cfcls 21740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-fbas 19743  df-top 20699  df-topon 20716  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-fil 21650  df-fcls 21745
This theorem is referenced by:  fclsopni  21819  fclselbas  21820  fclsnei  21823  fclsbas  21825  fclsss1  21826  fclsrest  21828  fclscf  21829  isfcf  21838
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