Theorem fgcl 21682

Description: A generated filter is a filter. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fgcl	|- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) )

Proof of Theorem fgcl

Dummy variables v u w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfg 21675	. 2 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( z e. ( X filGen F ) <-> ( z C_ X /\ E. y e. F y C_ z ) ) )
2		elfvex 6221	. 2 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> X e. _V )
3		fbasne0 21634	. . . . . 6 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> F =/= (/) )
4		n0 3931	. . . . . 6 |- ( F =/= (/) <-> E. y y e. F )
5	3, 4	sylib 208	. . . . 5 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> E. y y e. F )
6		fbelss 21637	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ y e. F ) -> y C_ X )
7	6	ex 450	. . . . . . 7 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( y e. F -> y C_ X ) )
8	7	ancld 576	. . . . . 6 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( y e. F -> ( y e. F /\ y C_ X ) ) )
9	8	eximdv 1846	. . . . 5 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( E. y y e. F -> E. y ( y e. F /\ y C_ X ) ) )
10	5, 9	mpd 15	. . . 4 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> E. y ( y e. F /\ y C_ X ) )
11		df-rex 2918	. . . 4 |- ( E. y e. F y C_ X <-> E. y ( y e. F /\ y C_ X ) )
12	10, 11	sylibr 224	. . 3 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> E. y e. F y C_ X )
13		elfvdm 6220	. . . 4 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> X e. dom fBas )
14		sseq2 3627	. . . . . 6 |- ( z = X -> ( y C_ z <-> y C_ X ) )
15	14	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( z = X -> ( E. y e. F y C_ z <-> E. y e. F y C_ X ) )
16	15	sbcieg 3468	. . . 4 |- ( X e. dom fBas -> ( [. X / z ]. E. y e. F y C_ z <-> E. y e. F y C_ X ) )
17	13, 16	syl 17	. . 3 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( [. X / z ]. E. y e. F y C_ z <-> E. y e. F y C_ X ) )
18	12, 17	mpbird 247	. 2 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> [. X / z ]. E. y e. F y C_ z )
19		0nelfb 21635	. . 3 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> -. (/) e. F )
20		0ex 4790	. . . . 5 |- (/) e. _V
21		sseq2 3627	. . . . . 6 |- ( z = (/) -> ( y C_ z <-> y C_ (/) ) )
22	21	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( z = (/) -> ( E. y e. F y C_ z <-> E. y e. F y C_ (/) ) )
23	20, 22	sbcie 3470	. . . 4 |- ( [. (/) / z ]. E. y e. F y C_ z <-> E. y e. F y C_ (/) )
24		ss0 3974	. . . . . . 7 |- ( y C_ (/) -> y = (/) )
25	24	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( y C_ (/) -> ( y e. F <-> (/) e. F ) )
26	25	biimpac 503	. . . . 5 |- ( ( y e. F /\ y C_ (/) ) -> (/) e. F )
27	26	rexlimiva 3028	. . . 4 |- ( E. y e. F y C_ (/) -> (/) e. F )
28	23, 27	sylbi 207	. . 3 |- ( [. (/) / z ]. E. y e. F y C_ z -> (/) e. F )
29	19, 28	nsyl 135	. 2 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> -. [. (/) / z ]. E. y e. F y C_ z )
30		sstr 3611	. . . . . 6 |- ( ( y C_ v /\ v C_ u ) -> y C_ u )
31	30	expcom 451	. . . . 5 |- ( v C_ u -> ( y C_ v -> y C_ u ) )
32	31	reximdv 3016	. . . 4 |- ( v C_ u -> ( E. y e. F y C_ v -> E. y e. F y C_ u ) )
33	32	3ad2ant3 1084	. . 3 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ u C_ X /\ v C_ u ) -> ( E. y e. F y C_ v -> E. y e. F y C_ u ) )
34		vex 3203	. . . 4 |- v e. _V
35		sseq2 3627	. . . . 5 |- ( z = v -> ( y C_ z <-> y C_ v ) )
36	35	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( z = v -> ( E. y e. F y C_ z <-> E. y e. F y C_ v ) )
37	34, 36	sbcie 3470	. . 3 |- ( [. v / z ]. E. y e. F y C_ z <-> E. y e. F y C_ v )
38		vex 3203	. . . 4 |- u e. _V
39		sseq2 3627	. . . . 5 |- ( z = u -> ( y C_ z <-> y C_ u ) )
40	39	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( z = u -> ( E. y e. F y C_ z <-> E. y e. F y C_ u ) )
41	38, 40	sbcie 3470	. . 3 |- ( [. u / z ]. E. y e. F y C_ z <-> E. y e. F y C_ u )
42	33, 37, 41	3imtr4g 285	. 2 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ u C_ X /\ v C_ u ) -> ( [. v / z ]. E. y e. F y C_ z -> [. u / z ]. E. y e. F y C_ z ) )
43		fbasssin 21640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ z e. F /\ w e. F ) -> E. y e. F y C_ ( z i^i w ) )
44	43	3expib 1268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( ( z e. F /\ w e. F ) -> E. y e. F y C_ ( z i^i w ) ) )
45		sstr2 3610	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y C_ ( z i^i w ) -> ( ( z i^i w ) C_ ( u i^i v ) -> y C_ ( u i^i v ) ) )
46	45	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z i^i w ) C_ ( u i^i v ) -> ( y C_ ( z i^i w ) -> y C_ ( u i^i v ) ) )
47	46	reximdv 3016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z i^i w ) C_ ( u i^i v ) -> ( E. y e. F y C_ ( z i^i w ) -> E. y e. F y C_ ( u i^i v ) ) )
48		ss2in 3840	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z C_ u /\ w C_ v ) -> ( z i^i w ) C_ ( u i^i v ) )
49	47, 48	syl11 33	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. y e. F y C_ ( z i^i w ) -> ( ( z C_ u /\ w C_ v ) -> E. y e. F y C_ ( u i^i v ) ) )
50	44, 49	syl6 35	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( ( z e. F /\ w e. F ) -> ( ( z C_ u /\ w C_ v ) -> E. y e. F y C_ ( u i^i v ) ) ) )
51	50	exp5c 644	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( z e. F -> ( w e. F -> ( z C_ u -> ( w C_ v -> E. y e. F y C_ ( u i^i v ) ) ) ) ) )
52	51	imp31 448	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ z e. F ) /\ w e. F ) -> ( z C_ u -> ( w C_ v -> E. y e. F y C_ ( u i^i v ) ) ) )
53	52	impancom 456	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ z e. F ) /\ z C_ u ) -> ( w e. F -> ( w C_ v -> E. y e. F y C_ ( u i^i v ) ) ) )
54	53	rexlimdv 3030	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ z e. F ) /\ z C_ u ) -> ( E. w e. F w C_ v -> E. y e. F y C_ ( u i^i v ) ) )
55	54	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ z e. F ) -> ( z C_ u -> ( E. w e. F w C_ v -> E. y e. F y C_ ( u i^i v ) ) ) )
56	55	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( E. z e. F z C_ u -> ( E. w e. F w C_ v -> E. y e. F y C_ ( u i^i v ) ) ) )
57	56	impd 447	. . . 4 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( ( E. z e. F z C_ u /\ E. w e. F w C_ v ) -> E. y e. F y C_ ( u i^i v ) ) )
58	57	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ u C_ X /\ v C_ X ) -> ( ( E. z e. F z C_ u /\ E. w e. F w C_ v ) -> E. y e. F y C_ ( u i^i v ) ) )
59		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( y C_ u <-> z C_ u ) )
60	59	cbvrexv 3172	. . . . 5 |- ( E. y e. F y C_ u <-> E. z e. F z C_ u )
61	41, 60	bitri 264	. . . 4 |- ( [. u / z ]. E. y e. F y C_ z <-> E. z e. F z C_ u )
62		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( y = w -> ( y C_ v <-> w C_ v ) )
63	62	cbvrexv 3172	. . . . 5 |- ( E. y e. F y C_ v <-> E. w e. F w C_ v )
64	37, 63	bitri 264	. . . 4 |- ( [. v / z ]. E. y e. F y C_ z <-> E. w e. F w C_ v )
65	61, 64	anbi12i 733	. . 3 |- ( ( [. u / z ]. E. y e. F y C_ z /\ [. v / z ]. E. y e. F y C_ z ) <-> ( E. z e. F z C_ u /\ E. w e. F w C_ v ) )
66	38	inex1 4799	. . . 4 |- ( u i^i v ) e. _V
67		sseq2 3627	. . . . 5 |- ( z = ( u i^i v ) -> ( y C_ z <-> y C_ ( u i^i v ) ) )
68	67	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( z = ( u i^i v ) -> ( E. y e. F y C_ z <-> E. y e. F y C_ ( u i^i v ) ) )
69	66, 68	sbcie 3470	. . 3 |- ( [. ( u i^i v ) / z ]. E. y e. F y C_ z <-> E. y e. F y C_ ( u i^i v ) )
70	58, 65, 69	3imtr4g 285	. 2 |- ( ( F e. ( fBas ` X ) /\ u C_ X /\ v C_ X ) -> ( ( [. u / z ]. E. y e. F y C_ z /\ [. v / z ]. E. y e. F y C_ z ) -> [. ( u i^i v ) / z ]. E. y e. F y C_ z ) )
71	1, 2, 18, 29, 42, 70	isfild 21662	1 |- ( F e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen F ) e. ( Fil ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   [.wsbc 3435   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   fBascfbas 19734   filGencfg 19735   Filcfil 21649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-fil 21650

This theorem is referenced by:  fgabs  21683  trfg  21695  isufil2  21712  ssufl  21722  ufileu  21723  filufint  21724  fixufil  21726  uffixfr  21727  fmfil  21748  fmfg  21753  elfm3  21754  rnelfm  21757  fmfnfmlem2  21759  fmfnfm  21762  fbflim  21780  hausflim  21785  flimclslem  21788  flffbas  21799  fclsbas  21825  fclsfnflim  21831  flimfnfcls  21832  fclscmp  21834  haustsms  21939  tsmscls  21941  tsmsmhm  21949  tsmsadd  21950  cfilufg  22097  metust  22363  fgcfil  23069  cmetcaulem  23086  cmetss  23113  minveclem4a  23201  minveclem4  23203