Theorem fixufil 21726

Description: The condition describing a fixed ultrafilter always produces an ultrafilter. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Dec-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 29-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fixufil	|- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { x e. ~P X | A e. x } e. ( UFil ` X ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, X   x, V

Proof of Theorem fixufil

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uffix 21725	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> ( { { A } } e. ( fBas ` X ) /\ { x e. ~P X | A e. x } = ( X filGen { { A } } ) ) )
2	1	simprd 479	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { x e. ~P X | A e. x } = ( X filGen { { A } } ) )
3	1	simpld 475	. . . 4 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { { A } } e. ( fBas ` X ) )
4		fgcl 21682	. . . 4 |- ( { { A } } e. ( fBas ` X ) -> ( X filGen { { A } } ) e. ( Fil ` X ) )
5	3, 4	syl 17	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> ( X filGen { { A } } ) e. ( Fil ` X ) )
6	2, 5	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { x e. ~P X | A e. x } e. ( Fil ` X ) )
7		undif2 4044	. . . . . . . . . 10 |- ( y u. ( X \ y ) ) = ( y u. X )
8		elpwi 4168	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~P X -> y C_ X )
9		ssequn1 3783	. . . . . . . . . . 11 |- ( y C_ X <-> ( y u. X ) = X )
10	8, 9	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~P X -> ( y u. X ) = X )
11	7, 10	syl5req 2669	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ~P X -> X = ( y u. ( X \ y ) ) )
12	11	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~P X -> ( A e. X <-> A e. ( y u. ( X \ y ) ) ) )
13	12	biimpac 503	. . . . . . 7 |- ( ( A e. X /\ y e. ~P X ) -> A e. ( y u. ( X \ y ) ) )
14		elun 3753	. . . . . . 7 |- ( A e. ( y u. ( X \ y ) ) <-> ( A e. y \/ A e. ( X \ y ) ) )
15	13, 14	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( A e. X /\ y e. ~P X ) -> ( A e. y \/ A e. ( X \ y ) ) )
16	15	adantll 750	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( A e. y \/ A e. ( X \ y ) ) )
17		ibar 525	. . . . . . 7 |- ( y e. ~P X -> ( A e. y <-> ( y e. ~P X /\ A e. y ) ) )
18	17	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( A e. y <-> ( y e. ~P X /\ A e. y ) ) )
19		difss 3737	. . . . . . . . 9 |- ( X \ y ) C_ X
20		elpw2g 4827	. . . . . . . . 9 |- ( X e. V -> ( ( X \ y ) e. ~P X <-> ( X \ y ) C_ X ) )
21	19, 20	mpbiri 248	. . . . . . . 8 |- ( X e. V -> ( X \ y ) e. ~P X )
22	21	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( X \ y ) e. ~P X )
23	22	biantrurd 529	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( A e. ( X \ y ) <-> ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) ) )
24	18, 23	orbi12d 746	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( ( A e. y \/ A e. ( X \ y ) ) <-> ( ( y e. ~P X /\ A e. y ) \/ ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) ) ) )
25	16, 24	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A e. X ) /\ y e. ~P X ) -> ( ( y e. ~P X /\ A e. y ) \/ ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) ) )
26	25	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> A. y e. ~P X ( ( y e. ~P X /\ A e. y ) \/ ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) ) )
27		eleq2 2690	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A e. x <-> A e. y ) )
28	27	elrab 3363	. . . . 5 |- ( y e. { x e. ~P X | A e. x } <-> ( y e. ~P X /\ A e. y ) )
29		eleq2 2690	. . . . . 6 |- ( x = ( X \ y ) -> ( A e. x <-> A e. ( X \ y ) ) )
30	29	elrab 3363	. . . . 5 |- ( ( X \ y ) e. { x e. ~P X | A e. x } <-> ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) )
31	28, 30	orbi12i 543	. . . 4 |- ( ( y e. { x e. ~P X | A e. x } \/ ( X \ y ) e. { x e. ~P X | A e. x } ) <-> ( ( y e. ~P X /\ A e. y ) \/ ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) ) )
32	31	ralbii 2980	. . 3 |- ( A. y e. ~P X ( y e. { x e. ~P X | A e. x } \/ ( X \ y ) e. { x e. ~P X | A e. x } ) <-> A. y e. ~P X ( ( y e. ~P X /\ A e. y ) \/ ( ( X \ y ) e. ~P X /\ A e. ( X \ y ) ) ) )
33	26, 32	sylibr 224	. 2 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> A. y e. ~P X ( y e. { x e. ~P X | A e. x } \/ ( X \ y ) e. { x e. ~P X | A e. x } ) )
34		isufil 21707	. 2 |- ( { x e. ~P X | A e. x } e. ( UFil ` X ) <-> ( { x e. ~P X | A e. x } e. ( Fil ` X ) /\ A. y e. ~P X ( y e. { x e. ~P X | A e. x } \/ ( X \ y ) e. { x e. ~P X | A e. x } ) ) )
35	6, 33, 34	sylanbrc 698	1 |- ( ( X e. V /\ A e. X ) -> { x e. ~P X | A e. x } e. ( UFil ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   fBascfbas 19734   filGencfg 19735   Filcfil 21649   UFilcufil 21703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-fil 21650  df-ufil 21705

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