Theorem fmf 21749

Description: Pushing-forward via a function induces a mapping on filters. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fmf	|- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) -> ( X FilMap F ) : ( fBas ` Y ) --> ( Fil ` X ) )

Proof of Theorem fmf

Dummy variables f b x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6678	. . . 4 |- ( X filGen ran ( y e. b |-> ( F " y ) ) ) e. _V
2		eqid 2622	. . . 4 |- ( b e. ( fBas ` Y ) |-> ( X filGen ran ( y e. b |-> ( F " y ) ) ) ) = ( b e. ( fBas ` Y ) |-> ( X filGen ran ( y e. b |-> ( F " y ) ) ) )
3	1, 2	fnmpti 6022	. . 3 |- ( b e. ( fBas ` Y ) |-> ( X filGen ran ( y e. b |-> ( F " y ) ) ) ) Fn ( fBas ` Y )
4		df-fm 21742	. . . . . 6 |- FilMap = ( x e. _V , f e. _V |-> ( b e. ( fBas ` dom f ) |-> ( x filGen ran ( y e. b |-> ( f " y ) ) ) ) )
5	4	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) -> FilMap = ( x e. _V , f e. _V |-> ( b e. ( fBas ` dom f ) |-> ( x filGen ran ( y e. b |-> ( f " y ) ) ) ) ) )
6		dmeq 5324	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> dom f = dom F )
7	6	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( x = X /\ f = F ) -> dom f = dom F )
8		fdm 6051	. . . . . . . . 9 |- ( F : Y --> X -> dom F = Y )
9	8	3ad2ant3 1084	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) -> dom F = Y )
10	7, 9	sylan9eqr 2678	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) /\ ( x = X /\ f = F ) ) -> dom f = Y )
11	10	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) /\ ( x = X /\ f = F ) ) -> ( fBas ` dom f ) = ( fBas ` Y ) )
12		id 22	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> x = X )
13		imaeq1 5461	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( f " y ) = ( F " y ) )
14	13	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( y e. b |-> ( f " y ) ) = ( y e. b |-> ( F " y ) ) )
15	14	rneqd 5353	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ran ( y e. b |-> ( f " y ) ) = ran ( y e. b |-> ( F " y ) ) )
16	12, 15	oveqan12d 6669	. . . . . . 7 |- ( ( x = X /\ f = F ) -> ( x filGen ran ( y e. b |-> ( f " y ) ) ) = ( X filGen ran ( y e. b |-> ( F " y ) ) ) )
17	16	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) /\ ( x = X /\ f = F ) ) -> ( x filGen ran ( y e. b |-> ( f " y ) ) ) = ( X filGen ran ( y e. b |-> ( F " y ) ) ) )
18	11, 17	mpteq12dv 4733	. . . . 5 |- ( ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) /\ ( x = X /\ f = F ) ) -> ( b e. ( fBas ` dom f ) |-> ( x filGen ran ( y e. b |-> ( f " y ) ) ) ) = ( b e. ( fBas ` Y ) |-> ( X filGen ran ( y e. b |-> ( F " y ) ) ) ) )
19		elex 3212	. . . . . 6 |- ( X e. A -> X e. _V )
20	19	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) -> X e. _V )
21		fex2 7121	. . . . . 6 |- ( ( F : Y --> X /\ Y e. B /\ X e. A ) -> F e. _V )
22	21	3com13 1270	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) -> F e. _V )
23		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( fBas ` Y ) e. _V
24	23	mptex 6486	. . . . . 6 |- ( b e. ( fBas ` Y ) |-> ( X filGen ran ( y e. b |-> ( F " y ) ) ) ) e. _V
25	24	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) -> ( b e. ( fBas ` Y ) |-> ( X filGen ran ( y e. b |-> ( F " y ) ) ) ) e. _V )
26	5, 18, 20, 22, 25	ovmpt2d 6788	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) -> ( X FilMap F ) = ( b e. ( fBas ` Y ) |-> ( X filGen ran ( y e. b |-> ( F " y ) ) ) ) )
27	26	fneq1d 5981	. . 3 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) -> ( ( X FilMap F ) Fn ( fBas ` Y ) <-> ( b e. ( fBas ` Y ) |-> ( X filGen ran ( y e. b |-> ( F " y ) ) ) ) Fn ( fBas ` Y ) ) )
28	3, 27	mpbiri 248	. 2 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) -> ( X FilMap F ) Fn ( fBas ` Y ) )
29		simpl1 1064	. . . 4 |- ( ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) /\ b e. ( fBas ` Y ) ) -> X e. A )
30		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) /\ b e. ( fBas ` Y ) ) -> b e. ( fBas ` Y ) )
31		simpl3 1066	. . . 4 |- ( ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) /\ b e. ( fBas ` Y ) ) -> F : Y --> X )
32		fmfil 21748	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ b e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( X FilMap F ) ` b ) e. ( Fil ` X ) )
33	29, 30, 31, 32	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) /\ b e. ( fBas ` Y ) ) -> ( ( X FilMap F ) ` b ) e. ( Fil ` X ) )
34	33	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) -> A. b e. ( fBas ` Y ) ( ( X FilMap F ) ` b ) e. ( Fil ` X ) )
35		ffnfv 6388	. 2 |- ( ( X FilMap F ) : ( fBas ` Y ) --> ( Fil ` X ) <-> ( ( X FilMap F ) Fn ( fBas ` Y ) /\ A. b e. ( fBas ` Y ) ( ( X FilMap F ) ` b ) e. ( Fil ` X ) ) )
36	28, 34, 35	sylanbrc 698	1 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) -> ( X FilMap F ) : ( fBas ` Y ) --> ( Fil ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   fBascfbas 19734   filGencfg 19735   Filcfil 21649   FilMap cfm 21737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-fil 21650  df-fm 21742

This theorem is referenced by:  rnelfm  21757