Theorem founiiun0 39377

Description: Union expressed as an indexed union, when a map onto is given. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
founiiun0	|- ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) -> U. B = U_ x e. A ( F ` x ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F

Proof of Theorem founiiun0

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniiun 4573	. . 3 |- U. B = U_ y e. B y
2	1	a1i 11	. 2 |- ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) -> U. B = U_ y e. B y )
3		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) /\ y e. B ) -> F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) )
4		elun1 3780	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> y e. ( B u. { (/) } ) )
5	4	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) /\ y e. B ) -> y e. ( B u. { (/) } ) )
6		foelrni 6244	. . . . . . 7 |- ( ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) /\ y e. ( B u. { (/) } ) ) -> E. x e. A ( F ` x ) = y )
7	3, 5, 6	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) /\ y e. B ) -> E. x e. A ( F ` x ) = y )
8		eqimss2 3658	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) = y -> y C_ ( F ` x ) )
9	8	reximi 3011	. . . . . 6 |- ( E. x e. A ( F ` x ) = y -> E. x e. A y C_ ( F ` x ) )
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 |- ( ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) /\ y e. B ) -> E. x e. A y C_ ( F ` x ) )
11	10	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) -> A. y e. B E. x e. A y C_ ( F ` x ) )
12		iunss2 4565	. . . 4 |- ( A. y e. B E. x e. A y C_ ( F ` x ) -> U_ y e. B y C_ U_ x e. A ( F ` x ) )
13	11, 12	syl 17	. . 3 |- ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) -> U_ y e. B y C_ U_ x e. A ( F ` x ) )
14		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) /\ B = (/) ) -> F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) )
15		uneq1 3760	. . . . . . . . 9 |- ( B = (/) -> ( B u. { (/) } ) = ( (/) u. { (/) } ) )
16		0un 39215	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) u. { (/) } ) = { (/) }
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( B = (/) -> ( (/) u. { (/) } ) = { (/) } )
18	15, 17	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( B = (/) -> ( B u. { (/) } ) = { (/) } )
19	18	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) /\ B = (/) ) -> ( B u. { (/) } ) = { (/) } )
20		foeq3 6113	. . . . . . 7 |- ( ( B u. { (/) } ) = { (/) } -> ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) <-> F : A -onto-> { (/) } ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) /\ B = (/) ) -> ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) <-> F : A -onto-> { (/) } ) )
22	14, 21	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) /\ B = (/) ) -> F : A -onto-> { (/) } )
23		unisn0 39222	. . . . . . . . 9 |- U. { (/) } = (/)
24	23	eqcomi 2631	. . . . . . . 8 |- (/) = U. { (/) }
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( F : A -onto-> { (/) } -> (/) = U. { (/) } )
26		founiiun 39360	. . . . . . 7 |- ( F : A -onto-> { (/) } -> U. { (/) } = U_ x e. A ( F ` x ) )
27	25, 26	eqtr2d 2657	. . . . . 6 |- ( F : A -onto-> { (/) } -> U_ x e. A ( F ` x ) = (/) )
28		0ss 3972	. . . . . . 7 |- (/) C_ U_ y e. B y
29	28	a1i 11	. . . . . 6 |- ( F : A -onto-> { (/) } -> (/) C_ U_ y e. B y )
30	27, 29	eqsstrd 3639	. . . . 5 |- ( F : A -onto-> { (/) } -> U_ x e. A ( F ` x ) C_ U_ y e. B y )
31	22, 30	syl 17	. . . 4 |- ( ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) /\ B = (/) ) -> U_ x e. A ( F ` x ) C_ U_ y e. B y )
32		ssid 3624	. . . . . . . . 9 |- ( F ` x ) C_ ( F ` x )
33		sseq2 3627	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` x ) -> ( ( F ` x ) C_ y <-> ( F ` x ) C_ ( F ` x ) ) )
34	33	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` x ) e. B /\ ( F ` x ) C_ ( F ` x ) ) -> E. y e. B ( F ` x ) C_ y )
35	32, 34	mpan2 707	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) e. B -> E. y e. B ( F ` x ) C_ y )
36	35	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) /\ -. B = (/) ) /\ x e. A ) /\ ( F ` x ) e. B ) -> E. y e. B ( F ` x ) C_ y )
37		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) /\ -. B = (/) ) /\ x e. A ) /\ -. ( F ` x ) e. B ) -> ( ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) /\ -. B = (/) ) /\ x e. A ) )
38		fof 6115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) -> F : A --> ( B u. { (/) } ) )
39	38	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. ( B u. { (/) } ) )
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) /\ x e. A ) /\ -. ( F ` x ) e. B ) -> ( F ` x ) e. ( B u. { (/) } ) )
41		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) /\ x e. A ) /\ -. ( F ` x ) e. B ) -> -. ( F ` x ) e. B )
42		elunnel1 3754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) e. ( B u. { (/) } ) /\ -. ( F ` x ) e. B ) -> ( F ` x ) e. { (/) } )
43	40, 41, 42	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) /\ x e. A ) /\ -. ( F ` x ) e. B ) -> ( F ` x ) e. { (/) } )
44		elsni 4194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` x ) e. { (/) } -> ( F ` x ) = (/) )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) /\ x e. A ) /\ -. ( F ` x ) e. B ) -> ( F ` x ) = (/) )
46	45	adantllr 755	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) /\ -. B = (/) ) /\ x e. A ) /\ -. ( F ` x ) e. B ) -> ( F ` x ) = (/) )
47		neq0 3930	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. B = (/) <-> E. y y e. B )
48	47	biimpi 206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. B = (/) -> E. y y e. B )
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. B = (/) /\ ( F ` x ) = (/) ) -> E. y y e. B )
50		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` x ) = (/) /\ y e. B ) -> y e. B )
51		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` x ) = (/) -> ( F ` x ) = (/) )
52		0ss 3972	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (/) C_ y
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` x ) = (/) -> (/) C_ y )
54	51, 53	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` x ) = (/) -> ( F ` x ) C_ y )
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` x ) = (/) /\ y e. B ) -> ( F ` x ) C_ y )
56	50, 55	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` x ) = (/) /\ y e. B ) -> ( y e. B /\ ( F ` x ) C_ y ) )
57	56	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` x ) = (/) -> ( y e. B -> ( y e. B /\ ( F ` x ) C_ y ) ) )
58	57	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. B = (/) /\ ( F ` x ) = (/) ) -> ( y e. B -> ( y e. B /\ ( F ` x ) C_ y ) ) )
59	58	eximdv 1846	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. B = (/) /\ ( F ` x ) = (/) ) -> ( E. y y e. B -> E. y ( y e. B /\ ( F ` x ) C_ y ) ) )
60	49, 59	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. B = (/) /\ ( F ` x ) = (/) ) -> E. y ( y e. B /\ ( F ` x ) C_ y ) )
61		df-rex 2918	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y e. B ( F ` x ) C_ y <-> E. y ( y e. B /\ ( F ` x ) C_ y ) )
62	60, 61	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. B = (/) /\ ( F ` x ) = (/) ) -> E. y e. B ( F ` x ) C_ y )
63	62	ad4ant24 1298	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) /\ -. B = (/) ) /\ x e. A ) /\ ( F ` x ) = (/) ) -> E. y e. B ( F ` x ) C_ y )
64	37, 46, 63	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) /\ -. B = (/) ) /\ x e. A ) /\ -. ( F ` x ) e. B ) -> E. y e. B ( F ` x ) C_ y )
65	36, 64	pm2.61dan 832	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) /\ -. B = (/) ) /\ x e. A ) -> E. y e. B ( F ` x ) C_ y )
66	65	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) /\ -. B = (/) ) -> A. x e. A E. y e. B ( F ` x ) C_ y )
67		iunss2 4565	. . . . 5 |- ( A. x e. A E. y e. B ( F ` x ) C_ y -> U_ x e. A ( F ` x ) C_ U_ y e. B y )
68	66, 67	syl 17	. . . 4 |- ( ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) /\ -. B = (/) ) -> U_ x e. A ( F ` x ) C_ U_ y e. B y )
69	31, 68	pm2.61dan 832	. . 3 |- ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) -> U_ x e. A ( F ` x ) C_ U_ y e. B y )
70	13, 69	eqssd 3620	. 2 |- ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) -> U_ y e. B y = U_ x e. A ( F ` x ) )
71	2, 70	eqtrd 2656	1 |- ( F : A -onto-> ( B u. { (/) } ) -> U. B = U_ x e. A ( F ` x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   U_ciun 4520   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fo 5894  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  ismeannd  40684