Theorem fphpdo 37381

Description: Pigeonhole principle for sets of real numbers with implicit output reordering. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fphpdo.1	|- ( ph -> A C_ RR )
fphpdo.2	|- ( ph -> B e. _V )
fphpdo.3	|- ( ph -> B ~< A )
fphpdo.4	|- ( ( ph /\ z e. A ) -> C e. B )
fphpdo.5	|- ( z = x -> C = D )
fphpdo.6	|- ( z = y -> C = E )

Assertion

Ref	Expression
fphpdo	|- ( ph -> E. x e. A E. y e. A ( x < y /\ D = E ) )

Distinct variable groups:   ph, x, y, z   x, A, y, z   z, B   x, C, y   y, D, z   x, E, z

Allowed substitution hints:   B( x, y)   C( z)   D( x)   E( y)

Proof of Theorem fphpdo

Dummy variables b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fphpdo.3	. . 3 |- ( ph -> B ~< A )
2		fphpdo.4	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> C e. B )
3		eqid 2622	. . . . 5 |- ( z e. A |-> C ) = ( z e. A |-> C )
4	2, 3	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. A |-> C ) : A --> B )
5	4	ffvelrnda 6359	. . 3 |- ( ( ph /\ b e. A ) -> ( ( z e. A |-> C ) ` b ) e. B )
6		fveq2 6191	. . 3 |- ( b = c -> ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) )
7	1, 5, 6	fphpd 37380	. 2 |- ( ph -> E. b e. A E. c e. A ( b =/= c /\ ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) ) )
8		fphpdo.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A C_ RR )
9	8	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ b e. A ) -> b e. RR )
10	9	adantrr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ c e. A ) ) -> b e. RR )
11	10	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ c e. A ) ) /\ ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) ) -> b e. RR )
12	8	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ c e. A ) -> c e. RR )
13	12	adantrl 752	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ c e. A ) ) -> c e. RR )
14	13	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ c e. A ) ) /\ ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) ) -> c e. RR )
15	11, 14	lttri2d 10176	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ c e. A ) ) /\ ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) ) -> ( b =/= c <-> ( b < c \/ c < b ) ) )
16		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ c e. A ) ) -> b e. A )
17	16	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ c e. A ) ) /\ ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) ) /\ b < c ) -> b e. A )
18		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ c e. A ) ) -> c e. A )
19	18	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ c e. A ) ) /\ ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) ) /\ b < c ) -> c e. A )
20		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ c e. A ) ) /\ ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) ) /\ b < c ) -> b < c )
21		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ c e. A ) ) /\ ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) ) /\ b < c ) -> ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) )
22		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = b -> ( x < y <-> b < y ) )
23		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = b -> ( ( z e. A |-> C ) ` x ) = ( ( z e. A |-> C ) ` b ) )
24	23	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = b -> ( ( ( z e. A |-> C ) ` x ) = ( ( z e. A |-> C ) ` y ) <-> ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` y ) ) )
25	22, 24	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = b -> ( ( x < y /\ ( ( z e. A |-> C ) ` x ) = ( ( z e. A |-> C ) ` y ) ) <-> ( b < y /\ ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` y ) ) ) )
26		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = c -> ( b < y <-> b < c ) )
27		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = c -> ( ( z e. A |-> C ) ` y ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) )
28	27	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = c -> ( ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` y ) <-> ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) ) )
29	26, 28	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = c -> ( ( b < y /\ ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` y ) ) <-> ( b < c /\ ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) ) ) )
30	25, 29	rspc2ev 3324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. A /\ c e. A /\ ( b < c /\ ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) ) ) -> E. x e. A E. y e. A ( x < y /\ ( ( z e. A |-> C ) ` x ) = ( ( z e. A |-> C ) ` y ) ) )
31	17, 19, 20, 21, 30	syl112anc 1330	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ c e. A ) ) /\ ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) ) /\ b < c ) -> E. x e. A E. y e. A ( x < y /\ ( ( z e. A |-> C ) ` x ) = ( ( z e. A |-> C ) ` y ) ) )
32	31	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ c e. A ) ) /\ ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) ) -> ( b < c -> E. x e. A E. y e. A ( x < y /\ ( ( z e. A |-> C ) ` x ) = ( ( z e. A |-> C ) ` y ) ) ) )
33	18	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ c e. A ) ) /\ ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) ) /\ c < b ) -> c e. A )
34	16	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ c e. A ) ) /\ ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) ) /\ c < b ) -> b e. A )
35		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ c e. A ) ) /\ ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) ) /\ c < b ) -> c < b )
36		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ c e. A ) ) /\ ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) ) /\ c < b ) -> ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) )
37	36	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ c e. A ) ) /\ ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) ) /\ c < b ) -> ( ( z e. A |-> C ) ` c ) = ( ( z e. A |-> C ) ` b ) )
38		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = c -> ( x < y <-> c < y ) )
39		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = c -> ( ( z e. A |-> C ) ` x ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) )
40	39	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = c -> ( ( ( z e. A |-> C ) ` x ) = ( ( z e. A |-> C ) ` y ) <-> ( ( z e. A |-> C ) ` c ) = ( ( z e. A |-> C ) ` y ) ) )
41	38, 40	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = c -> ( ( x < y /\ ( ( z e. A |-> C ) ` x ) = ( ( z e. A |-> C ) ` y ) ) <-> ( c < y /\ ( ( z e. A |-> C ) ` c ) = ( ( z e. A |-> C ) ` y ) ) ) )
42		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = b -> ( c < y <-> c < b ) )
43		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = b -> ( ( z e. A |-> C ) ` y ) = ( ( z e. A |-> C ) ` b ) )
44	43	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = b -> ( ( ( z e. A |-> C ) ` c ) = ( ( z e. A |-> C ) ` y ) <-> ( ( z e. A |-> C ) ` c ) = ( ( z e. A |-> C ) ` b ) ) )
45	42, 44	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = b -> ( ( c < y /\ ( ( z e. A |-> C ) ` c ) = ( ( z e. A |-> C ) ` y ) ) <-> ( c < b /\ ( ( z e. A |-> C ) ` c ) = ( ( z e. A |-> C ) ` b ) ) ) )
46	41, 45	rspc2ev 3324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. A /\ b e. A /\ ( c < b /\ ( ( z e. A |-> C ) ` c ) = ( ( z e. A |-> C ) ` b ) ) ) -> E. x e. A E. y e. A ( x < y /\ ( ( z e. A |-> C ) ` x ) = ( ( z e. A |-> C ) ` y ) ) )
47	33, 34, 35, 37, 46	syl112anc 1330	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ c e. A ) ) /\ ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) ) /\ c < b ) -> E. x e. A E. y e. A ( x < y /\ ( ( z e. A |-> C ) ` x ) = ( ( z e. A |-> C ) ` y ) ) )
48	47	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ c e. A ) ) /\ ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) ) -> ( c < b -> E. x e. A E. y e. A ( x < y /\ ( ( z e. A |-> C ) ` x ) = ( ( z e. A |-> C ) ` y ) ) ) )
49	32, 48	jaod 395	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ c e. A ) ) /\ ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) ) -> ( ( b < c \/ c < b ) -> E. x e. A E. y e. A ( x < y /\ ( ( z e. A |-> C ) ` x ) = ( ( z e. A |-> C ) ` y ) ) ) )
50		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> x e. A )
51		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = x -> ( z e. A <-> x e. A ) )
52	51	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = x -> ( ( ph /\ z e. A ) <-> ( ph /\ x e. A ) ) )
53		fphpdo.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = x -> C = D )
54	53	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = x -> ( C e. B <-> D e. B ) )
55	52, 54	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = x -> ( ( ( ph /\ z e. A ) -> C e. B ) <-> ( ( ph /\ x e. A ) -> D e. B ) ) )
56	55, 2	chvarv 2263	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> D e. B )
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> D e. B )
58	53, 3	fvmptg 6280	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. A /\ D e. B ) -> ( ( z e. A |-> C ) ` x ) = D )
59	50, 57, 58	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( z e. A |-> C ) ` x ) = D )
60		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> y e. A )
61		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = y -> ( z e. A <-> y e. A ) )
62	61	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = y -> ( ( ph /\ z e. A ) <-> ( ph /\ y e. A ) ) )
63		fphpdo.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = y -> C = E )
64	63	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = y -> ( C e. B <-> E e. B ) )
65	62, 64	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = y -> ( ( ( ph /\ z e. A ) -> C e. B ) <-> ( ( ph /\ y e. A ) -> E e. B ) ) )
66	65, 2	chvarv 2263	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> E e. B )
67	66	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> E e. B )
68	63, 3	fvmptg 6280	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. A /\ E e. B ) -> ( ( z e. A |-> C ) ` y ) = E )
69	60, 67, 68	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( z e. A |-> C ) ` y ) = E )
70	59, 69	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> C ) ` x ) = ( ( z e. A |-> C ) ` y ) <-> D = E ) )
71	70	biimpd 219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( ( z e. A |-> C ) ` x ) = ( ( z e. A |-> C ) ` y ) -> D = E ) )
72	71	anim2d 589	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. A ) -> ( ( x < y /\ ( ( z e. A |-> C ) ` x ) = ( ( z e. A |-> C ) ` y ) ) -> ( x < y /\ D = E ) ) )
73	72	reximdva 3017	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( E. y e. A ( x < y /\ ( ( z e. A |-> C ) ` x ) = ( ( z e. A |-> C ) ` y ) ) -> E. y e. A ( x < y /\ D = E ) ) )
74	73	reximdva 3017	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. x e. A E. y e. A ( x < y /\ ( ( z e. A |-> C ) ` x ) = ( ( z e. A |-> C ) ` y ) ) -> E. x e. A E. y e. A ( x < y /\ D = E ) ) )
75	74	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ c e. A ) ) /\ ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) ) -> ( E. x e. A E. y e. A ( x < y /\ ( ( z e. A |-> C ) ` x ) = ( ( z e. A |-> C ) ` y ) ) -> E. x e. A E. y e. A ( x < y /\ D = E ) ) )
76	49, 75	syld 47	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ c e. A ) ) /\ ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) ) -> ( ( b < c \/ c < b ) -> E. x e. A E. y e. A ( x < y /\ D = E ) ) )
77	15, 76	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( b e. A /\ c e. A ) ) /\ ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) ) -> ( b =/= c -> E. x e. A E. y e. A ( x < y /\ D = E ) ) )
78	77	expimpd 629	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ c e. A ) ) -> ( ( ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) /\ b =/= c ) -> E. x e. A E. y e. A ( x < y /\ D = E ) ) )
79	78	ancomsd 470	. . 3 |- ( ( ph /\ ( b e. A /\ c e. A ) ) -> ( ( b =/= c /\ ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) ) -> E. x e. A E. y e. A ( x < y /\ D = E ) ) )
80	79	rexlimdvva 3038	. 2 |- ( ph -> ( E. b e. A E. c e. A ( b =/= c /\ ( ( z e. A |-> C ) ` b ) = ( ( z e. A |-> C ) ` c ) ) -> E. x e. A E. y e. A ( x < y /\ D = E ) ) )
81	7, 80	mpd 15	1 |- ( ph -> E. x e. A E. y e. A ( x < y /\ D = E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888   ~< csdm 7954   RRcr 9935   < clt 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079

This theorem is referenced by:  irrapxlem1  37386