Theorem fsovcnvlem 38307

Description: The O operator, which maps between maps from one base set to subsets of the second to maps from the second base set to subsets of the first for base sets, gives a family of functions that include their own inverse. (Contributed by RP, 27-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsovd.fs	|- O = ( a e. _V , b e. _V |-> ( f e. ( ~P b ^m a ) |-> ( y e. b |-> { x e. a | y e. ( f ` x ) } ) ) )
fsovd.a	|- ( ph -> A e. V )
fsovd.b	|- ( ph -> B e. W )
fsovfvd.g	|- G = ( A O B )
fsovcnvlem.h	|- H = ( B O A )

Assertion

Ref	Expression
fsovcnvlem	|- ( ph -> ( H o. G ) = ( _I |` ( ~P B ^m A ) ) )

Distinct variable groups:   A, a, b, f, x, y   B, a, b, f, y   ph, a, b, f, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   B( x)   G( x, y, f, a, b)   H( x, y, f, a, b)   O( x, y, f, a, b)   V( x, y, f, a, b)   W( x, y, f, a, b)

Proof of Theorem fsovcnvlem

Dummy variables c d g u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsovd.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. V )
2		ssrab2 3687	. . . . . . . . 9 |- { x e. A | y e. ( f ` x ) } C_ A
3	2	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { x e. A | y e. ( f ` x ) } C_ A )
4	1, 3	sselpwd 4807	. . . . . . 7 |- ( ph -> { x e. A | y e. ( f ` x ) } e. ~P A )
5	4	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> { x e. A | y e. ( f ` x ) } e. ~P A )
6		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) = ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } )
7	5, 6	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) : B --> ~P A )
8		pwexg 4850	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> ~P A e. _V )
9	1, 8	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ~P A e. _V )
10		fsovd.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. W )
11	9, 10	elmapd 7871	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) e. ( ~P A ^m B ) <-> ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) : B --> ~P A ) )
12	7, 11	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) e. ( ~P A ^m B ) )
13	12	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. ( ~P B ^m A ) ) -> ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) e. ( ~P A ^m B ) )
14		fsovfvd.g	. . . 4 |- G = ( A O B )
15		fsovd.fs	. . . . 5 |- O = ( a e. _V , b e. _V |-> ( f e. ( ~P b ^m a ) |-> ( y e. b |-> { x e. a | y e. ( f ` x ) } ) ) )
16	15, 1, 10	fsovd 38302	. . . 4 |- ( ph -> ( A O B ) = ( f e. ( ~P B ^m A ) |-> ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) ) )
17	14, 16	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ph -> G = ( f e. ( ~P B ^m A ) |-> ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) ) )
18		fsovcnvlem.h	. . . 4 |- H = ( B O A )
19		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( a = d -> ( ~P b ^m a ) = ( ~P b ^m d ) )
20		rabeq 3192	. . . . . . . . 9 |- ( a = d -> { x e. a | y e. ( f ` x ) } = { x e. d | y e. ( f ` x ) } )
21	20	mpteq2dv 4745	. . . . . . . 8 |- ( a = d -> ( y e. b |-> { x e. a | y e. ( f ` x ) } ) = ( y e. b |-> { x e. d | y e. ( f ` x ) } ) )
22	19, 21	mpteq12dv 4733	. . . . . . 7 |- ( a = d -> ( f e. ( ~P b ^m a ) |-> ( y e. b |-> { x e. a | y e. ( f ` x ) } ) ) = ( f e. ( ~P b ^m d ) |-> ( y e. b |-> { x e. d | y e. ( f ` x ) } ) ) )
23		pweq 4161	. . . . . . . . 9 |- ( b = c -> ~P b = ~P c )
24	23	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( b = c -> ( ~P b ^m d ) = ( ~P c ^m d ) )
25		mpteq1 4737	. . . . . . . 8 |- ( b = c -> ( y e. b |-> { x e. d | y e. ( f ` x ) } ) = ( y e. c |-> { x e. d | y e. ( f ` x ) } ) )
26	24, 25	mpteq12dv 4733	. . . . . . 7 |- ( b = c -> ( f e. ( ~P b ^m d ) |-> ( y e. b |-> { x e. d | y e. ( f ` x ) } ) ) = ( f e. ( ~P c ^m d ) |-> ( y e. c |-> { x e. d | y e. ( f ` x ) } ) ) )
27	22, 26	cbvmpt2v 6735	. . . . . 6 |- ( a e. _V , b e. _V |-> ( f e. ( ~P b ^m a ) |-> ( y e. b |-> { x e. a | y e. ( f ` x ) } ) ) ) = ( d e. _V , c e. _V |-> ( f e. ( ~P c ^m d ) |-> ( y e. c |-> { x e. d | y e. ( f ` x ) } ) ) )
28		eqid 2622	. . . . . . 7 |- _V = _V
29		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( f ` x ) = ( g ` x ) )
30	29	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( y e. ( f ` x ) <-> y e. ( g ` x ) ) )
31	30	rabbidv 3189	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> { x e. d | y e. ( f ` x ) } = { x e. d | y e. ( g ` x ) } )
32	31	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( y e. c |-> { x e. d | y e. ( f ` x ) } ) = ( y e. c |-> { x e. d | y e. ( g ` x ) } ) )
33	32	cbvmptv 4750	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( ~P c ^m d ) |-> ( y e. c |-> { x e. d | y e. ( f ` x ) } ) ) = ( g e. ( ~P c ^m d ) |-> ( y e. c |-> { x e. d | y e. ( g ` x ) } ) )
34		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = u -> ( y e. ( g ` x ) <-> u e. ( g ` x ) ) )
35	34	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = u -> { x e. d | y e. ( g ` x ) } = { x e. d | u e. ( g ` x ) } )
36	35	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. c |-> { x e. d | y e. ( g ` x ) } ) = ( u e. c |-> { x e. d | u e. ( g ` x ) } )
37		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = v -> ( g ` x ) = ( g ` v ) )
38	37	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = v -> ( u e. ( g ` x ) <-> u e. ( g ` v ) ) )
39	38	cbvrabv 3199	. . . . . . . . . . 11 |- { x e. d | u e. ( g ` x ) } = { v e. d | u e. ( g ` v ) }
40	39	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. c |-> { x e. d | u e. ( g ` x ) } ) = ( u e. c |-> { v e. d | u e. ( g ` v ) } )
41	36, 40	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- ( y e. c |-> { x e. d | y e. ( g ` x ) } ) = ( u e. c |-> { v e. d | u e. ( g ` v ) } )
42	41	mpteq2i 4741	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( ~P c ^m d ) |-> ( y e. c |-> { x e. d | y e. ( g ` x ) } ) ) = ( g e. ( ~P c ^m d ) |-> ( u e. c |-> { v e. d | u e. ( g ` v ) } ) )
43	33, 42	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- ( f e. ( ~P c ^m d ) |-> ( y e. c |-> { x e. d | y e. ( f ` x ) } ) ) = ( g e. ( ~P c ^m d ) |-> ( u e. c |-> { v e. d | u e. ( g ` v ) } ) )
44	28, 28, 43	mpt2eq123i 6718	. . . . . 6 |- ( d e. _V , c e. _V |-> ( f e. ( ~P c ^m d ) |-> ( y e. c |-> { x e. d | y e. ( f ` x ) } ) ) ) = ( d e. _V , c e. _V |-> ( g e. ( ~P c ^m d ) |-> ( u e. c |-> { v e. d | u e. ( g ` v ) } ) ) )
45	15, 27, 44	3eqtri 2648	. . . . 5 |- O = ( d e. _V , c e. _V |-> ( g e. ( ~P c ^m d ) |-> ( u e. c |-> { v e. d | u e. ( g ` v ) } ) ) )
46	45, 10, 1	fsovd 38302	. . . 4 |- ( ph -> ( B O A ) = ( g e. ( ~P A ^m B ) |-> ( u e. A |-> { v e. B | u e. ( g ` v ) } ) ) )
47	18, 46	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ph -> H = ( g e. ( ~P A ^m B ) |-> ( u e. A |-> { v e. B | u e. ( g ` v ) } ) ) )
48		fveq1 6190	. . . . . 6 |- ( g = ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) -> ( g ` v ) = ( ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) ` v ) )
49	48	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( g = ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) -> ( u e. ( g ` v ) <-> u e. ( ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) ` v ) ) )
50	49	rabbidv 3189	. . . 4 |- ( g = ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) -> { v e. B | u e. ( g ` v ) } = { v e. B | u e. ( ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) ` v ) } )
51	50	mpteq2dv 4745	. . 3 |- ( g = ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) -> ( u e. A |-> { v e. B | u e. ( g ` v ) } ) = ( u e. A |-> { v e. B | u e. ( ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) ` v ) } ) )
52	13, 17, 47, 51	fmptco 6396	. 2 |- ( ph -> ( H o. G ) = ( f e. ( ~P B ^m A ) |-> ( u e. A |-> { v e. B | u e. ( ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) ` v ) } ) ) )
53		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. A ) /\ v e. B ) -> ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) = ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) )
54		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = v -> ( y e. ( f ` x ) <-> v e. ( f ` x ) ) )
55	54	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = v -> { x e. A | y e. ( f ` x ) } = { x e. A | v e. ( f ` x ) } )
56	55	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ u e. A ) /\ v e. B ) /\ y = v ) -> { x e. A | y e. ( f ` x ) } = { x e. A | v e. ( f ` x ) } )
57		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. A ) /\ v e. B ) -> v e. B )
58		rabexg 4812	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. V -> { x e. A | v e. ( f ` x ) } e. _V )
59	1, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> { x e. A | v e. ( f ` x ) } e. _V )
60	59	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ u e. A ) /\ v e. B ) -> { x e. A | v e. ( f ` x ) } e. _V )
61	53, 56, 57, 60	fvmptd 6288	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ u e. A ) /\ v e. B ) -> ( ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) ` v ) = { x e. A | v e. ( f ` x ) } )
62	61	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. A ) /\ v e. B ) -> ( u e. ( ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) ` v ) <-> u e. { x e. A | v e. ( f ` x ) } ) )
63		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( f ` x ) = ( f ` u ) )
64	63	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = u -> ( v e. ( f ` x ) <-> v e. ( f ` u ) ) )
65	64	elrab3 3364	. . . . . . . . . 10 |- ( u e. A -> ( u e. { x e. A | v e. ( f ` x ) } <-> v e. ( f ` u ) ) )
66	65	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. A ) /\ v e. B ) -> ( u e. { x e. A | v e. ( f ` x ) } <-> v e. ( f ` u ) ) )
67	62, 66	bitrd 268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. A ) /\ v e. B ) -> ( u e. ( ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) ` v ) <-> v e. ( f ` u ) ) )
68	67	rabbidva 3188	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. A ) -> { v e. B | u e. ( ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) ` v ) } = { v e. B | v e. ( f ` u ) } )
69	68	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ~P B ^m A ) ) /\ u e. A ) -> { v e. B | u e. ( ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) ` v ) } = { v e. B | v e. ( f ` u ) } )
70		dfin5 3582	. . . . . . 7 |- ( B i^i ( f ` u ) ) = { v e. B | v e. ( f ` u ) }
71		elmapi 7879	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> f : A --> ~P B )
72	71	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ~P B ^m A ) ) /\ u e. A ) -> f : A --> ~P B )
73		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ~P B ^m A ) ) /\ u e. A ) -> u e. A )
74	72, 73	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ~P B ^m A ) ) /\ u e. A ) -> ( f ` u ) e. ~P B )
75	74	elpwid 4170	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ~P B ^m A ) ) /\ u e. A ) -> ( f ` u ) C_ B )
76		sseqin2 3817	. . . . . . . 8 |- ( ( f ` u ) C_ B <-> ( B i^i ( f ` u ) ) = ( f ` u ) )
77	75, 76	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ~P B ^m A ) ) /\ u e. A ) -> ( B i^i ( f ` u ) ) = ( f ` u ) )
78	70, 77	syl5reqr 2671	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ~P B ^m A ) ) /\ u e. A ) -> ( f ` u ) = { v e. B | v e. ( f ` u ) } )
79	69, 78	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ~P B ^m A ) ) /\ u e. A ) -> { v e. B | u e. ( ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) ` v ) } = ( f ` u ) )
80	79	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. ( ~P B ^m A ) ) -> ( u e. A |-> { v e. B | u e. ( ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) ` v ) } ) = ( u e. A |-> ( f ` u ) ) )
81	71	feqmptd 6249	. . . . 5 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) -> f = ( u e. A |-> ( f ` u ) ) )
82	81	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. ( ~P B ^m A ) ) -> f = ( u e. A |-> ( f ` u ) ) )
83	80, 82	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. ( ~P B ^m A ) ) -> ( u e. A |-> { v e. B | u e. ( ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) ` v ) } ) = f )
84	83	mpteq2dva 4744	. 2 |- ( ph -> ( f e. ( ~P B ^m A ) |-> ( u e. A |-> { v e. B | u e. ( ( y e. B |-> { x e. A | y e. ( f ` x ) } ) ` v ) } ) ) = ( f e. ( ~P B ^m A ) |-> f ) )
85		mptresid 5456	. . 3 |- ( f e. ( ~P B ^m A ) |-> f ) = ( _I |` ( ~P B ^m A ) )
86	85	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( f e. ( ~P B ^m A ) |-> f ) = ( _I |` ( ~P B ^m A ) ) )
87	52, 84, 86	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> ( H o. G ) = ( _I |` ( ~P B ^m A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859

This theorem is referenced by:  fsovcnvd  38308