Theorem elmapd 7871

Description: Deduction form of elmapg 7870. (Contributed by BJ, 11-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmapd.a	|- ( ph -> A e. V )
elmapd.b	|- ( ph -> B e. W )

Assertion

Ref	Expression
elmapd	|- ( ph -> ( C e. ( A ^m B ) <-> C : B --> A ) )

Proof of Theorem elmapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapd.a	. 2 |- ( ph -> A e. V )
2		elmapd.b	. 2 |- ( ph -> B e. W )
3		elmapg 7870	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( C e. ( A ^m B ) <-> C : B --> A ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	1 |- ( ph -> ( C e. ( A ^m B ) <-> C : B --> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   e. wcel 1990   -->wf 5884  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859

This theorem is referenced by:  elmapssres  7882  mapss  7900  ralxpmap  7907  mapen  8124  mapunen  8129  f1finf1o  8187  mapfienlem3  8312  mapfien  8313  cantnfs  8563  acni  8868  infmap2  9040  fin23lem32  9166  iundom2g  9362  wunf  9549  hashf1lem1  13239  hashf1lem2  13240  prdsplusg  16118  prdsmulr  16119  prdsvsca  16120  elsetchom  16731  setcco  16733  isga  17724  evls1sca  19688  mamures  20196  mat1dimmul  20282  1mavmul  20354  mdetunilem9  20426  cnpdis  21097  xkopjcn  21459  indishmph  21601  tsmsxplem2  21957  dchrfi  24980  fcobij  29500  mbfmcst  30321  1stmbfm  30322  2ndmbfm  30323  mbfmco  30326  sibfof  30402  mapco2g  37277  elmapresaun  37334  rfovcnvf1od  38298  fsovfd  38306  fsovcnvlem  38307  dssmapnvod  38314  clsk3nimkb  38338  ntrelmap  38423  clselmap  38425  k0004lem2  38446  elmapsnd  39396  mapss2  39397  unirnmap  39400  inmap  39401  difmapsn  39404  unirnmapsn  39406  dvnprodlem1  40161  fourierdlem14  40338  fourierdlem15  40339  fourierdlem81  40404  fourierdlem92  40415  rrnprjdstle  40521  subsaliuncllem  40575  hoidmvlelem3  40811  ovolval2lem  40857  ovolval4lem2  40864  ovolval5lem2  40867  ovnovollem1  40870  smfmullem4  41001  el0ldep  42255