Theorem funcnvtp 5951

Description: The converse triple of ordered pairs is a function if the second members are pairwise different. Note that the second members need not be sets. (Contributed by AV, 23-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvtp	|- ( ( ( A e. U /\ C e. V /\ E e. W ) /\ ( B =/= D /\ B =/= F /\ D =/= F ) ) -> Fun `' { <. A , B >. , <. C , D >. , <. E , F >. } )

Proof of Theorem funcnvtp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . . 4 |- ( ( A e. U /\ C e. V /\ E e. W ) -> A e. U )
2		simp2 1062	. . . 4 |- ( ( A e. U /\ C e. V /\ E e. W ) -> C e. V )
3		simp1 1061	. . . 4 |- ( ( B =/= D /\ B =/= F /\ D =/= F ) -> B =/= D )
4		funcnvpr 5950	. . . 4 |- ( ( A e. U /\ C e. V /\ B =/= D ) -> Fun `' { <. A , B >. , <. C , D >. } )
5	1, 2, 3, 4	syl2an3an 1386	. . 3 |- ( ( ( A e. U /\ C e. V /\ E e. W ) /\ ( B =/= D /\ B =/= F /\ D =/= F ) ) -> Fun `' { <. A , B >. , <. C , D >. } )
6		funcnvsn 5936	. . . 4 |- Fun `' { <. E , F >. }
7	6	a1i 11	. . 3 |- ( ( ( A e. U /\ C e. V /\ E e. W ) /\ ( B =/= D /\ B =/= F /\ D =/= F ) ) -> Fun `' { <. E , F >. } )
8		df-rn 5125	. . . . . . 7 |- ran { <. A , B >. , <. C , D >. } = dom `' { <. A , B >. , <. C , D >. }
9		rnpropg 5615	. . . . . . 7 |- ( ( A e. U /\ C e. V ) -> ran { <. A , B >. , <. C , D >. } = { B , D } )
10	8, 9	syl5eqr 2670	. . . . . 6 |- ( ( A e. U /\ C e. V ) -> dom `' { <. A , B >. , <. C , D >. } = { B , D } )
11	10	3adant3 1081	. . . . 5 |- ( ( A e. U /\ C e. V /\ E e. W ) -> dom `' { <. A , B >. , <. C , D >. } = { B , D } )
12		df-rn 5125	. . . . . . 7 |- ran { <. E , F >. } = dom `' { <. E , F >. }
13		rnsnopg 5614	. . . . . . 7 |- ( E e. W -> ran { <. E , F >. } = { F } )
14	12, 13	syl5eqr 2670	. . . . . 6 |- ( E e. W -> dom `' { <. E , F >. } = { F } )
15	14	3ad2ant3 1084	. . . . 5 |- ( ( A e. U /\ C e. V /\ E e. W ) -> dom `' { <. E , F >. } = { F } )
16	11, 15	ineq12d 3815	. . . 4 |- ( ( A e. U /\ C e. V /\ E e. W ) -> ( dom `' { <. A , B >. , <. C , D >. } i^i dom `' { <. E , F >. } ) = ( { B , D } i^i { F } ) )
17		disjprsn 4250	. . . . 5 |- ( ( B =/= F /\ D =/= F ) -> ( { B , D } i^i { F } ) = (/) )
18	17	3adant1 1079	. . . 4 |- ( ( B =/= D /\ B =/= F /\ D =/= F ) -> ( { B , D } i^i { F } ) = (/) )
19	16, 18	sylan9eq 2676	. . 3 |- ( ( ( A e. U /\ C e. V /\ E e. W ) /\ ( B =/= D /\ B =/= F /\ D =/= F ) ) -> ( dom `' { <. A , B >. , <. C , D >. } i^i dom `' { <. E , F >. } ) = (/) )
20		funun 5932	. . 3 |- ( ( ( Fun `' { <. A , B >. , <. C , D >. } /\ Fun `' { <. E , F >. } ) /\ ( dom `' { <. A , B >. , <. C , D >. } i^i dom `' { <. E , F >. } ) = (/) ) -> Fun ( `' { <. A , B >. , <. C , D >. } u. `' { <. E , F >. } ) )
21	5, 7, 19, 20	syl21anc 1325	. 2 |- ( ( ( A e. U /\ C e. V /\ E e. W ) /\ ( B =/= D /\ B =/= F /\ D =/= F ) ) -> Fun ( `' { <. A , B >. , <. C , D >. } u. `' { <. E , F >. } ) )
22		df-tp 4182	. . . . 5 |- { <. A , B >. , <. C , D >. , <. E , F >. } = ( { <. A , B >. , <. C , D >. } u. { <. E , F >. } )
23	22	cnveqi 5297	. . . 4 |- `' { <. A , B >. , <. C , D >. , <. E , F >. } = `' ( { <. A , B >. , <. C , D >. } u. { <. E , F >. } )
24		cnvun 5538	. . . 4 |- `' ( { <. A , B >. , <. C , D >. } u. { <. E , F >. } ) = ( `' { <. A , B >. , <. C , D >. } u. `' { <. E , F >. } )
25	23, 24	eqtri 2644	. . 3 |- `' { <. A , B >. , <. C , D >. , <. E , F >. } = ( `' { <. A , B >. , <. C , D >. } u. `' { <. E , F >. } )
26	25	funeqi 5909	. 2 |- ( Fun `' { <. A , B >. , <. C , D >. , <. E , F >. } <-> Fun ( `' { <. A , B >. , <. C , D >. } u. `' { <. E , F >. } ) )
27	21, 26	sylibr 224	1 |- ( ( ( A e. U /\ C e. V /\ E e. W ) /\ ( B =/= D /\ B =/= F /\ D =/= F ) ) -> Fun `' { <. A , B >. , <. C , D >. , <. E , F >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   u. cun 3572   i^i cin 3573   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   {ctp 4181   <.cop 4183   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fun wfun 5882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-fun 5890

This theorem is referenced by:  funcnvs3  13659