Theorem funcnvsn 5936

Description: The converse singleton of an ordered pair is a function. This is equivalent to funsn 5939 via cnvsn 5618, but stating it this way allows us to skip the sethood assumptions on A and B. (Contributed by NM, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvsn	|- Fun `' { <. A , B >. }

Proof of Theorem funcnvsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5503	. 2 |- Rel `' { <. A , B >. }
2		moeq 3382	. . . 4 |- E* y y = A
3		vex 3203	. . . . . . . 8 |- x e. _V
4		vex 3203	. . . . . . . 8 |- y e. _V
5	3, 4	brcnv 5305	. . . . . . 7 |- ( x `' { <. A , B >. } y <-> y { <. A , B >. } x )
6		df-br 4654	. . . . . . 7 |- ( y { <. A , B >. } x <-> <. y , x >. e. { <. A , B >. } )
7	5, 6	bitri 264	. . . . . 6 |- ( x `' { <. A , B >. } y <-> <. y , x >. e. { <. A , B >. } )
8		elsni 4194	. . . . . . 7 |- ( <. y , x >. e. { <. A , B >. } -> <. y , x >. = <. A , B >. )
9	4, 3	opth1 4944	. . . . . . 7 |- ( <. y , x >. = <. A , B >. -> y = A )
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 |- ( <. y , x >. e. { <. A , B >. } -> y = A )
11	7, 10	sylbi 207	. . . . 5 |- ( x `' { <. A , B >. } y -> y = A )
12	11	moimi 2520	. . . 4 |- ( E* y y = A -> E* y x `' { <. A , B >. } y )
13	2, 12	ax-mp 5	. . 3 |- E* y x `' { <. A , B >. } y
14	13	ax-gen 1722	. 2 |- A. x E* y x `' { <. A , B >. } y
15		dffun6 5903	. 2 |- ( Fun `' { <. A , B >. } <-> ( Rel `' { <. A , B >. } /\ A. x E* y x `' { <. A , B >. } y ) )
16	1, 14, 15	mpbir2an 955	1 |- Fun `' { <. A , B >. }

Syntax hints:   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   E*wmo 2471   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   Rel wrel 5119   Fun wfun 5882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-fun 5890

This theorem is referenced by:  funsng  5937  funcnvpr  5950  funcnvtp  5951  funcnvs1  13657  strlemor1OLD  15969  0spth  26987