Theorem funcnvuni 7119

Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of single-rooted sets is single-rooted. (See funcnv 5958 for "single-rooted" definition.) (Contributed by NM, 11-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvuni	|- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> Fun `' U. A )

Distinct variable group:   f, g, A

Proof of Theorem funcnvuni

Dummy variables x y z w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnveq 5296	. . . . . . . 8 |- ( x = v -> `' x = `' v )
2	1	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( x = v -> ( z = `' x <-> z = `' v ) )
3	2	cbvrexv 3172	. . . . . 6 |- ( E. x e. A z = `' x <-> E. v e. A z = `' v )
4		cnveq 5296	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = v -> `' f = `' v )
5	4	funeqd 5910	. . . . . . . . . 10 |- ( f = v -> ( Fun `' f <-> Fun `' v ) )
6		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = v -> ( f C_ g <-> v C_ g ) )
7		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = v -> ( g C_ f <-> g C_ v ) )
8	6, 7	orbi12d 746	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = v -> ( ( f C_ g \/ g C_ f ) <-> ( v C_ g \/ g C_ v ) ) )
9	8	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10 |- ( f = v -> ( A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) <-> A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) ) )
10	5, 9	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( f = v -> ( ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) <-> ( Fun `' v /\ A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) ) ) )
11	10	rspcv 3305	. . . . . . . 8 |- ( v e. A -> ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> ( Fun `' v /\ A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) ) ) )
12		funeq 5908	. . . . . . . . . 10 |- ( z = `' v -> ( Fun z <-> Fun `' v ) )
13	12	biimprcd 240	. . . . . . . . 9 |- ( Fun `' v -> ( z = `' v -> Fun z ) )
14		sseq2 3627	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = x -> ( v C_ g <-> v C_ x ) )
15		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = x -> ( g C_ v <-> x C_ v ) )
16	14, 15	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = x -> ( ( v C_ g \/ g C_ v ) <-> ( v C_ x \/ x C_ v ) ) )
17	16	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. A -> ( A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) -> ( v C_ x \/ x C_ v ) ) )
18		cnvss 5294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v C_ x -> `' v C_ `' x )
19		cnvss 5294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x C_ v -> `' x C_ `' v )
20	18, 19	orim12i 538	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v C_ x \/ x C_ v ) -> ( `' v C_ `' x \/ `' x C_ `' v ) )
21		sseq12 3628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z = `' v /\ w = `' x ) -> ( z C_ w <-> `' v C_ `' x ) )
22	21	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w = `' x /\ z = `' v ) -> ( z C_ w <-> `' v C_ `' x ) )
23		sseq12 3628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w = `' x /\ z = `' v ) -> ( w C_ z <-> `' x C_ `' v ) )
24	22, 23	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w = `' x /\ z = `' v ) -> ( ( z C_ w \/ w C_ z ) <-> ( `' v C_ `' x \/ `' x C_ `' v ) ) )
25	20, 24	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v C_ x \/ x C_ v ) -> ( ( w = `' x /\ z = `' v ) -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) )
26	25	expd 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v C_ x \/ x C_ v ) -> ( w = `' x -> ( z = `' v -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) )
27	17, 26	syl6com 37	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) -> ( x e. A -> ( w = `' x -> ( z = `' v -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) )
28	27	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) -> ( E. x e. A w = `' x -> ( z = `' v -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) )
29	28	com23 86	. . . . . . . . . 10 |- ( A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) -> ( z = `' v -> ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) )
30	29	alrimdv 1857	. . . . . . . . 9 |- ( A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) -> ( z = `' v -> A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) )
31	13, 30	anim12ii 594	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun `' v /\ A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) ) -> ( z = `' v -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) )
32	11, 31	syl6com 37	. . . . . . 7 |- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> ( v e. A -> ( z = `' v -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) ) )
33	32	rexlimdv 3030	. . . . . 6 |- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> ( E. v e. A z = `' v -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) )
34	3, 33	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> ( E. x e. A z = `' x -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) )
35	34	alrimiv 1855	. . . 4 |- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> A. z ( E. x e. A z = `' x -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) )
36		df-ral 2917	. . . . 5 |- ( A. z e. { y | E. x e. A y = `' x } ( Fun z /\ A. w e. { y | E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) <-> A. z ( z e. { y | E. x e. A y = `' x } -> ( Fun z /\ A. w e. { y | E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) )
37		vex 3203	. . . . . . . 8 |- z e. _V
38		eqeq1 2626	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( y = `' x <-> z = `' x ) )
39	38	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( E. x e. A y = `' x <-> E. x e. A z = `' x ) )
40	37, 39	elab 3350	. . . . . . 7 |- ( z e. { y | E. x e. A y = `' x } <-> E. x e. A z = `' x )
41		eqeq1 2626	. . . . . . . . . 10 |- ( y = w -> ( y = `' x <-> w = `' x ) )
42	41	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( E. x e. A y = `' x <-> E. x e. A w = `' x ) )
43	42	ralab 3367	. . . . . . . 8 |- ( A. w e. { y | E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) <-> A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) )
44	43	anbi2i 730	. . . . . . 7 |- ( ( Fun z /\ A. w e. { y | E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) <-> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) )
45	40, 44	imbi12i 340	. . . . . 6 |- ( ( z e. { y | E. x e. A y = `' x } -> ( Fun z /\ A. w e. { y | E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) <-> ( E. x e. A z = `' x -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) )
46	45	albii 1747	. . . . 5 |- ( A. z ( z e. { y | E. x e. A y = `' x } -> ( Fun z /\ A. w e. { y | E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) <-> A. z ( E. x e. A z = `' x -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) )
47	36, 46	bitr2i 265	. . . 4 |- ( A. z ( E. x e. A z = `' x -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) <-> A. z e. { y | E. x e. A y = `' x } ( Fun z /\ A. w e. { y | E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) )
48	35, 47	sylib 208	. . 3 |- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> A. z e. { y | E. x e. A y = `' x } ( Fun z /\ A. w e. { y | E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) )
49		fununi 5964	. . 3 |- ( A. z e. { y | E. x e. A y = `' x } ( Fun z /\ A. w e. { y | E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) -> Fun U. { y | E. x e. A y = `' x } )
50	48, 49	syl 17	. 2 |- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> Fun U. { y | E. x e. A y = `' x } )
51		cnvuni 5309	. . . 4 |- `' U. A = U_ x e. A `' x
52		vex 3203	. . . . . 6 |- x e. _V
53	52	cnvex 7113	. . . . 5 |- `' x e. _V
54	53	dfiun2 4554	. . . 4 |- U_ x e. A `' x = U. { y | E. x e. A y = `' x }
55	51, 54	eqtri 2644	. . 3 |- `' U. A = U. { y | E. x e. A y = `' x }
56	55	funeqi 5909	. 2 |- ( Fun `' U. A <-> Fun U. { y | E. x e. A y = `' x } )
57	50, 56	sylibr 224	1 |- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> Fun `' U. A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   U.cuni 4436   U_ciun 4520   `'ccnv 5113   Fun wfun 5882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-fun 5890

This theorem is referenced by:  fun11uni  7120