Theorem fuzxrpmcn 40054

Description: A function mapping from an upper set of integers to the extended reals is a partial map on the complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fuzxrpmcn.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
fuzxrpmcn.2	|- ( ph -> F : Z --> RR* )

Assertion

Ref	Expression
fuzxrpmcn	|- ( ph -> F e. ( RR* ^pm CC ) )

Proof of Theorem fuzxrpmcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 10017	. . 3 |- CC e. _V
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ph -> CC e. _V )
3		xrex 11829	. . 3 |- RR* e. _V
4	3	a1i 11	. 2 |- ( ph -> RR* e. _V )
5		fuzxrpmcn.1	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
6	5	uzsscn2 39708	. . 3 |- Z C_ CC
7	6	a1i 11	. 2 |- ( ph -> Z C_ CC )
8		fuzxrpmcn.2	. 2 |- ( ph -> F : Z --> RR* )
9	2, 4, 7, 8	fpmd 39483	1 |- ( ph -> F e. ( RR* ^pm CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858   CCcc 9934   RR*cxr 10073   ZZ>=cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-pm 7860  df-xr 10078  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  xlimconst2  40061  xlimclim2lem  40065  climxlim2  40072