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Theorem xlimbr 40053
Description: Express the binary relation "sequence F converges to point P " w.r.t. the standard topology on the extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimbr.k |- F/_ k F
xlimbr.m |- ( ph -> M e. ZZ )
xlimbr.z |- Z = ( ZZ>= ` M )
xlimbr.f |- ( ph -> F : Z --> RR* )
xlimbr.j |- J = (ordTop ` <_ )
Assertion
Ref Expression
xlimbr |- ( ph -> ( F~~>* P <-> ( P e. RR* /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   j, F, u   u, J   j, M, u   u, P   j, Z, k   u, k
Allowed substitution hints:   ph( u, j, k)   P( j, k)   F( k)   J( j, k)   M( k)   Z( u)
Proof of Theorem xlimbr
StepHypRef Expression
1 df-xlim 40045 . . . 4 |- ~~>* = ( ~~> t ` (ordTop ` <_ ) )
21breqi 4659 . . 3 |- ( F~~>* P <-> F ( ~~> t ` (ordTop ` <_ ) ) P )
32a1i 11 . 2 |- ( ph -> ( F~~>* P <-> F ( ~~> t ` (ordTop ` <_ ) ) P ) )
4 xlimbr.k . . 3 |- F/_ k F
5 letopon 21009 . . . 4 |- (ordTop ` <_ ) e. (TopOn ` RR* )
65a1i 11 . . 3 |- ( ph -> (ordTop ` <_ ) e. (TopOn ` RR* ) )
74, 6lmbr3 39979 . 2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` (ordTop ` <_ ) ) P <-> ( F e. ( RR* ^pm CC ) /\ P e. RR* /\ A. u e. (ordTop ` <_ ) ( P e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
8 simpr2 1068 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( F e. ( RR* ^pm CC ) /\ P e. RR* /\ A. u e. (ordTop ` <_ ) ( P e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) -> P e. RR* )
9 xlimbr.j . . . . . . . 8 |- J = (ordTop ` <_ )
109eqcomi 2631 . . . . . . 7 |- (ordTop ` <_ ) = J
1110raleqi 3142 . . . . . 6 |- ( A. u e. (ordTop ` <_ ) ( P e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) <-> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
12 xlimbr.m . . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
13 xlimbr.z . . . . . . . . . . . . 13 |- Z = ( ZZ>= ` M )
1413rexuz3 14088 . . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
1514bicomd 213 . . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
1615imbi2d 330 . . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> ( ( P e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) <-> ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
1716biimpd 219 . . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( ( P e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) -> ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
1817ralimdv 2963 . . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) -> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
1912, 18syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) -> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
2019imp 445 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) -> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
2111, 20sylan2b 492 . . . . 5 |- ( ( ph /\ A. u e. (ordTop ` <_ ) ( P e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) -> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
22213ad2antr3 1228 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( F e. ( RR* ^pm CC ) /\ P e. RR* /\ A. u e. (ordTop ` <_ ) ( P e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) -> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
238, 22jca 554 . . 3 |- ( ( ph /\ ( F e. ( RR* ^pm CC ) /\ P e. RR* /\ A. u e. (ordTop ` <_ ) ( P e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) -> ( P e. RR* /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
24 cnex 10017 . . . . . . 7 |- CC e. _V
2524a1i 11 . . . . . 6 |- ( ph -> CC e. _V )
266elfvexd 6222 . . . . . 6 |- ( ph -> RR* e. _V )
2713uzsscn2 39708 . . . . . . 7 |- Z C_ CC
2827a1i 11 . . . . . 6 |- ( ph -> Z C_ CC )
29 xlimbr.f . . . . . 6 |- ( ph -> F : Z --> RR* )
3025, 26, 28, 29fpmd 39483 . . . . 5 |- ( ph -> F e. ( RR* ^pm CC ) )
3130adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( P e. RR* /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) -> F e. ( RR* ^pm CC ) )
32 simprl 794 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( P e. RR* /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) -> P e. RR* )
3316biimprd 238 . . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) -> ( P e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
3433ralimdv 2963 . . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> ( A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) -> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
3512, 34syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) -> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
3635imp 445 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) -> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
379raleqi 3142 . . . . . 6 |- ( A. u e. J ( P e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) <-> A. u e. (ordTop ` <_ ) ( P e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
3836, 37sylib 208 . . . . 5 |- ( ( ph /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) -> A. u e. (ordTop ` <_ ) ( P e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
3938adantrl 752 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( P e. RR* /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) -> A. u e. (ordTop ` <_ ) ( P e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
4031, 32, 393jca 1242 . . 3 |- ( ( ph /\ ( P e. RR* /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) -> ( F e. ( RR* ^pm CC ) /\ P e. RR* /\ A. u e. (ordTop ` <_ ) ( P e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
4123, 40impbida 877 . 2 |- ( ph -> ( ( F e. ( RR* ^pm CC ) /\ P e. RR* /\ A. u e. (ordTop ` <_ ) ( P e. u -> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) <-> ( P e. RR* /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
423, 7, 413bitrd 294 1 |- ( ph -> ( F~~>* P <-> ( P e. RR* /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858   CCcc 9934   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  ordTopcordt 16159  TopOnctopon 20715   ~~> tclm 21030  ~~>*clsxlim 40044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-lm 21033  df-xlim 40045
This theorem is referenced by:  xlimxrre  40057
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