Theorem xlimconst2 40061

Description: A sequence that eventually becomes constant, converges to its constant value (w.r.t. the standard topology on the extended reals). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimconst2.p	|- F/ k ph
xlimconst2.k	|- F/_ k F
xlimconst2.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
xlimconst2.f	|- ( ph -> F : Z --> RR* )
xlimconst2.n	|- ( ph -> N e. Z )
xlimconst2.a	|- ( ph -> A e. RR* )
xlimconst2.e	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` k ) = A )

Assertion

Ref	Expression
xlimconst2	|- ( ph -> F~~>* A )

Distinct variable groups:   A, k   k, N

Allowed substitution hints:   ph( k)   F( k)   M( k)   Z( k)

Proof of Theorem xlimconst2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimconst2.p	. . 3 |- F/ k ph
2		xlimconst2.k	. . . 4 |- F/_ k F
3		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ k ( ZZ>= ` N )
4	2, 3	nfres 5398	. . 3 |- F/_ k ( F |` ( ZZ>= ` N ) )
5		xlimconst2.z	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
6		xlimconst2.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. Z )
7	5, 6	eluzelz2d 39640	. . 3 |- ( ph -> N e. ZZ )
8		eqid 2622	. . 3 |- ( ZZ>= ` N ) = ( ZZ>= ` N )
9		xlimconst2.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : Z --> RR* )
10	9	ffnd 6046	. . . 4 |- ( ph -> F Fn Z )
11	5, 6	uzssd2 39644	. . . 4 |- ( ph -> ( ZZ>= ` N ) C_ Z )
12	10, 11	fnssresd 39482	. . 3 |- ( ph -> ( F |` ( ZZ>= ` N ) ) Fn ( ZZ>= ` N ) )
13		xlimconst2.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR* )
14		fvres 6207	. . . . 5 |- ( k e. ( ZZ>= ` N ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` N ) ) ` k ) = ( F ` k ) )
15	14	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` N ) ) ` k ) = ( F ` k ) )
16		xlimconst2.e	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` k ) = A )
17	15, 16	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` N ) ) ` k ) = A )
18	1, 4, 7, 8, 12, 13, 17	xlimconst 40051	. 2 |- ( ph -> ( F |` ( ZZ>= ` N ) )~~>* A )
19	5, 9	fuzxrpmcn 40054	. . 3 |- ( ph -> F e. ( RR* ^pm CC ) )
20	19, 7	xlimres 40047	. 2 |- ( ph -> ( F~~>* A <-> ( F |` ( ZZ>= ` N ) )~~>* A ) )
21	18, 20	mpbird 247	1 |- ( ph -> F~~>* A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   class class class wbr 4653   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888   RR*cxr 10073   ZZ>=cuz 11687  ~~>*clsxlim 40044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-lm 21033  df-xlim 40045

This theorem is referenced by:  climxlim2lem  40071