Theorem cnrefiisplem 40055

Description: Lemma for cnrefiisp 40056 (some local definitions are used). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnrefiisplem.a	|- ( ph -> A e. CC )
cnrefiisplem.n	|- ( ph -> -. A e. RR )
cnrefiisplem.b	|- ( ph -> B e. Fin )
cnrefiisplem.c	|- C = ( RR u. B )
cnrefiisplem.d	|- D = ( { ( abs ` ( Im ` A ) ) } u. U_ y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) { ( abs ` ( y - A ) ) } )
cnrefiisplem.x	|- X = inf ( D , RR* , < )

Assertion

Ref	Expression
cnrefiisplem	|- ( ph -> E. x e. RR+ A. y e. C ( ( y e. CC /\ y =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( y - A ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, x   y, B   x, C   x, X, y   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   B( x)   C( y)   D( x, y)

Proof of Theorem cnrefiisplem

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w = ( abs ` ( Im ` A ) ) ) -> w = ( abs ` ( Im ` A ) ) )
2		cnrefiisplem.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
3		cnrefiisplem.n	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. A e. RR )
4	2, 3	absimnre 39707	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( Im ` A ) ) e. RR+ )
5	4	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w = ( abs ` ( Im ` A ) ) ) -> ( abs ` ( Im ` A ) ) e. RR+ )
6	1, 5	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w = ( abs ` ( Im ` A ) ) ) -> w e. RR+ )
7	6	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ w e. D ) /\ w = ( abs ` ( Im ` A ) ) ) -> w e. RR+ )
8		simpll 790	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ w e. D ) /\ w =/= ( abs ` ( Im ` A ) ) ) -> ph )
9		cnrefiisplem.d	. . . . . . . . . . . 12 |- D = ( { ( abs ` ( Im ` A ) ) } u. U_ y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) { ( abs ` ( y - A ) ) } )
10	9	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. D <-> w e. ( { ( abs ` ( Im ` A ) ) } u. U_ y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) { ( abs ` ( y - A ) ) } ) )
11	10	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. D -> w e. ( { ( abs ` ( Im ` A ) ) } u. U_ y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) { ( abs ` ( y - A ) ) } ) )
12		nelsn 4212	. . . . . . . . . 10 |- ( w =/= ( abs ` ( Im ` A ) ) -> -. w e. { ( abs ` ( Im ` A ) ) } )
13		elunnel1 3754	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. ( { ( abs ` ( Im ` A ) ) } u. U_ y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) { ( abs ` ( y - A ) ) } ) /\ -. w e. { ( abs ` ( Im ` A ) ) } ) -> w e. U_ y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) { ( abs ` ( y - A ) ) } )
14	11, 12, 13	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( w e. D /\ w =/= ( abs ` ( Im ` A ) ) ) -> w e. U_ y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) { ( abs ` ( y - A ) ) } )
15		eliun 4524	. . . . . . . . 9 |- ( w e. U_ y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) { ( abs ` ( y - A ) ) } <-> E. y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) w e. { ( abs ` ( y - A ) ) } )
16	14, 15	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. D /\ w =/= ( abs ` ( Im ` A ) ) ) -> E. y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) w e. { ( abs ` ( y - A ) ) } )
17		velsn 4193	. . . . . . . . 9 |- ( w e. { ( abs ` ( y - A ) ) } <-> w = ( abs ` ( y - A ) ) )
18	17	rexbii 3041	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) w e. { ( abs ` ( y - A ) ) } <-> E. y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) w = ( abs ` ( y - A ) ) )
19	16, 18	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( w e. D /\ w =/= ( abs ` ( Im ` A ) ) ) -> E. y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) w = ( abs ` ( y - A ) ) )
20	19	adantll 750	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ w e. D ) /\ w =/= ( abs ` ( Im ` A ) ) ) -> E. y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) w = ( abs ` ( y - A ) ) )
21		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) ) /\ w = ( abs ` ( y - A ) ) ) -> w = ( abs ` ( y - A ) ) )
22		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) -> y e. ( B i^i CC ) )
23	22	elin2d 3803	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) -> y e. CC )
24	23	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) ) /\ w = ( abs ` ( y - A ) ) ) -> y e. CC )
25	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) ) /\ w = ( abs ` ( y - A ) ) ) -> A e. CC )
26	24, 25	subcld 10392	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) ) /\ w = ( abs ` ( y - A ) ) ) -> ( y - A ) e. CC )
27		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) -> y =/= A )
28	27	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) ) /\ w = ( abs ` ( y - A ) ) ) -> y =/= A )
29	24, 25, 28	subne0d 10401	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) ) /\ w = ( abs ` ( y - A ) ) ) -> ( y - A ) =/= 0 )
30	26, 29	absrpcld 14187	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) ) /\ w = ( abs ` ( y - A ) ) ) -> ( abs ` ( y - A ) ) e. RR+ )
31	21, 30	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) ) /\ w = ( abs ` ( y - A ) ) ) -> w e. RR+ )
32	31	rexlimdva2 39339	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) w = ( abs ` ( y - A ) ) -> w e. RR+ ) )
33	8, 20, 32	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ w e. D ) /\ w =/= ( abs ` ( Im ` A ) ) ) -> w e. RR+ )
34	7, 33	pm2.61dane 2881	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. D ) -> w e. RR+ )
35	34	ssd 39252	. . 3 |- ( ph -> D C_ RR+ )
36		cnrefiisplem.x	. . . 4 |- X = inf ( D , RR* , < )
37		xrltso 11974	. . . . . 6 |- < Or RR*
38	37	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> < Or RR* )
39		snfi 8038	. . . . . . . 8 |- { ( abs ` ( Im ` A ) ) } e. Fin
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> { ( abs ` ( Im ` A ) ) } e. Fin )
41		cnrefiisplem.b	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. Fin )
42		inss1 3833	. . . . . . . . . . 11 |- ( B i^i CC ) C_ B
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B i^i CC ) C_ B )
44	43	ssdifssd 3748	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( B i^i CC ) \ { A } ) C_ B )
45	41, 44	ssfid 8183	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( B i^i CC ) \ { A } ) e. Fin )
46		snfi 8038	. . . . . . . . 9 |- { ( abs ` ( y - A ) ) } e. Fin
47	46	rgenw 2924	. . . . . . . 8 |- A. y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) { ( abs ` ( y - A ) ) } e. Fin
48		iunfi 8254	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B i^i CC ) \ { A } ) e. Fin /\ A. y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) { ( abs ` ( y - A ) ) } e. Fin ) -> U_ y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) { ( abs ` ( y - A ) ) } e. Fin )
49	45, 47, 48	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ph -> U_ y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) { ( abs ` ( y - A ) ) } e. Fin )
50	40, 49	unfid 39345	. . . . . 6 |- ( ph -> ( { ( abs ` ( Im ` A ) ) } u. U_ y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) { ( abs ` ( y - A ) ) } ) e. Fin )
51	9, 50	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ph -> D e. Fin )
52		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( abs ` ( Im ` A ) ) e. _V
53	52	snid 4208	. . . . . . . . 9 |- ( abs ` ( Im ` A ) ) e. { ( abs ` ( Im ` A ) ) }
54		elun1 3780	. . . . . . . . 9 |- ( ( abs ` ( Im ` A ) ) e. { ( abs ` ( Im ` A ) ) } -> ( abs ` ( Im ` A ) ) e. ( { ( abs ` ( Im ` A ) ) } u. U_ y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) { ( abs ` ( y - A ) ) } ) )
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( abs ` ( Im ` A ) ) e. ( { ( abs ` ( Im ` A ) ) } u. U_ y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) { ( abs ` ( y - A ) ) } )
56	55, 9	eleqtrri 2700	. . . . . . 7 |- ( abs ` ( Im ` A ) ) e. D
57	56	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( Im ` A ) ) e. D )
58	57	ne0d 39308	. . . . 5 |- ( ph -> D =/= (/) )
59		rpssxr 39711	. . . . . 6 |- RR+ C_ RR*
60	35, 59	syl6ss 3615	. . . . 5 |- ( ph -> D C_ RR* )
61		fiinfcl 8407	. . . . 5 |- ( ( < Or RR* /\ ( D e. Fin /\ D =/= (/) /\ D C_ RR* ) ) -> inf ( D , RR* , < ) e. D )
62	38, 51, 58, 60, 61	syl13anc 1328	. . . 4 |- ( ph -> inf ( D , RR* , < ) e. D )
63	36, 62	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> X e. D )
64	35, 63	sseldd 3604	. 2 |- ( ph -> X e. RR+ )
65	35, 62	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> inf ( D , RR* , < ) e. RR+ )
66	65	rpred 11872	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> inf ( D , RR* , < ) e. RR )
67	66	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> inf ( D , RR* , < ) e. RR )
68	2	imcld 13935	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Im ` A ) e. RR )
69	68	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Im ` A ) e. CC )
70	69	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( Im ` A ) e. CC )
71	70	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( abs ` ( Im ` A ) ) e. RR )
72		recn 10026	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR -> y e. CC )
73	72	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. CC )
74	2	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> A e. CC )
75	73, 74	subcld 10392	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( y - A ) e. CC )
76	75	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( abs ` ( y - A ) ) e. RR )
77	60	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> D C_ RR* )
78		infxrlb 12164	. . . . . . . . 9 |- ( ( D C_ RR* /\ ( abs ` ( Im ` A ) ) e. D ) -> inf ( D , RR* , < ) <_ ( abs ` ( Im ` A ) ) )
79	77, 56, 78	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> inf ( D , RR* , < ) <_ ( abs ` ( Im ` A ) ) )
80		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. RR )
81	74, 80	absimlere 39710	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( abs ` ( Im ` A ) ) <_ ( abs ` ( y - A ) ) )
82	67, 71, 76, 79, 81	letrd 10194	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> inf ( D , RR* , < ) <_ ( abs ` ( y - A ) ) )
83	36, 82	syl5eqbr 4688	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> X <_ ( abs ` ( y - A ) ) )
84	83	ad4ant14 1293	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. C ) /\ ( y e. CC /\ y =/= A ) ) /\ y e. RR ) -> X <_ ( abs ` ( y - A ) ) )
85		cnrefiisplem.c	. . . . . . . . 9 |- C = ( RR u. B )
86	85	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 |- ( y e. C <-> y e. ( RR u. B ) )
87		elunnel1 3754	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( RR u. B ) /\ -. y e. RR ) -> y e. B )
88	86, 87	sylanb 489	. . . . . . 7 |- ( ( y e. C /\ -. y e. RR ) -> y e. B )
89	88	ad4ant24 1298	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. C ) /\ ( y e. CC /\ y =/= A ) ) /\ -. y e. RR ) -> y e. B )
90	60	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ y =/= A ) ) /\ y e. B ) -> D C_ RR* )
91		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= A ) /\ y e. B ) -> y e. B )
92		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= A ) /\ y e. B ) -> y e. CC )
93	91, 92	elind 3798	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= A ) /\ y e. B ) -> y e. ( B i^i CC ) )
94		nelsn 4212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y =/= A -> -. y e. { A } )
95	94	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= A ) /\ y e. B ) -> -. y e. { A } )
96	93, 95	eldifd 3585	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= A ) /\ y e. B ) -> y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) )
97		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs ` ( y - A ) ) e. _V
98	97	snid 4208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` ( y - A ) ) e. { ( abs ` ( y - A ) ) }
99		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = y -> ( w - A ) = ( y - A ) )
100	99	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = y -> ( abs ` ( w - A ) ) = ( abs ` ( y - A ) ) )
101	100	sneqd 4189	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = y -> { ( abs ` ( w - A ) ) } = { ( abs ` ( y - A ) ) } )
102	101	eliuni 4526	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) /\ ( abs ` ( y - A ) ) e. { ( abs ` ( y - A ) ) } ) -> ( abs ` ( y - A ) ) e. U_ w e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) { ( abs ` ( w - A ) ) } )
103	96, 98, 102	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= A ) /\ y e. B ) -> ( abs ` ( y - A ) ) e. U_ w e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) { ( abs ` ( w - A ) ) } )
104	101	cbviunv 4559	. . . . . . . . . . . . 13 |- U_ w e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) { ( abs ` ( w - A ) ) } = U_ y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) { ( abs ` ( y - A ) ) }
105	103, 104	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= A ) /\ y e. B ) -> ( abs ` ( y - A ) ) e. U_ y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) { ( abs ` ( y - A ) ) } )
106		elun2 3781	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs ` ( y - A ) ) e. U_ y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) { ( abs ` ( y - A ) ) } -> ( abs ` ( y - A ) ) e. ( { ( abs ` ( Im ` A ) ) } u. U_ y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) { ( abs ` ( y - A ) ) } ) )
107	105, 106	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= A ) /\ y e. B ) -> ( abs ` ( y - A ) ) e. ( { ( abs ` ( Im ` A ) ) } u. U_ y e. ( ( B i^i CC ) \ { A } ) { ( abs ` ( y - A ) ) } ) )
108	107, 9	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. CC /\ y =/= A ) /\ y e. B ) -> ( abs ` ( y - A ) ) e. D )
109	108	adantll 750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ y =/= A ) ) /\ y e. B ) -> ( abs ` ( y - A ) ) e. D )
110		infxrlb 12164	. . . . . . . . 9 |- ( ( D C_ RR* /\ ( abs ` ( y - A ) ) e. D ) -> inf ( D , RR* , < ) <_ ( abs ` ( y - A ) ) )
111	90, 109, 110	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ y =/= A ) ) /\ y e. B ) -> inf ( D , RR* , < ) <_ ( abs ` ( y - A ) ) )
112	36, 111	syl5eqbr 4688	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. CC /\ y =/= A ) ) /\ y e. B ) -> X <_ ( abs ` ( y - A ) ) )
113	112	adantllr 755	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. C ) /\ ( y e. CC /\ y =/= A ) ) /\ y e. B ) -> X <_ ( abs ` ( y - A ) ) )
114	89, 113	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ y e. C ) /\ ( y e. CC /\ y =/= A ) ) /\ -. y e. RR ) -> X <_ ( abs ` ( y - A ) ) )
115	84, 114	pm2.61dan 832	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. C ) /\ ( y e. CC /\ y =/= A ) ) -> X <_ ( abs ` ( y - A ) ) )
116	115	ex 450	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. C ) -> ( ( y e. CC /\ y =/= A ) -> X <_ ( abs ` ( y - A ) ) ) )
117	116	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. y e. C ( ( y e. CC /\ y =/= A ) -> X <_ ( abs ` ( y - A ) ) ) )
118		breq1 4656	. . . . 5 |- ( x = X -> ( x <_ ( abs ` ( y - A ) ) <-> X <_ ( abs ` ( y - A ) ) ) )
119	118	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = X -> ( ( ( y e. CC /\ y =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( y - A ) ) ) <-> ( ( y e. CC /\ y =/= A ) -> X <_ ( abs ` ( y - A ) ) ) ) )
120	119	ralbidv 2986	. . 3 |- ( x = X -> ( A. y e. C ( ( y e. CC /\ y =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( y - A ) ) ) <-> A. y e. C ( ( y e. CC /\ y =/= A ) -> X <_ ( abs ` ( y - A ) ) ) ) )
121	120	rspcev 3309	. 2 |- ( ( X e. RR+ /\ A. y e. C ( ( y e. CC /\ y =/= A ) -> X <_ ( abs ` ( y - A ) ) ) ) -> E. x e. RR+ A. y e. C ( ( y e. CC /\ y =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( y - A ) ) ) )
122	64, 117, 121	syl2anc 693	1 |- ( ph -> E. x e. RR+ A. y e. C ( ( y e. CC /\ y =/= A ) -> x <_ ( abs ` ( y - A ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   Or wor 5034   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955  infcinf 8347   CCcc 9934   RRcr 9935   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   RR+crp 11832   Imcim 13838   abscabs 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  cnrefiisp  40056