ghomco - Mathbox for Jeff Madsen

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Theorem ghomco 33690

Description: The composition of two group homomorphisms is a group homomorphism. (Contributed by Jeff Madsen, 1-Dec-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
ghomco	$/\$ $/\$ $/\$ GrpOpHom $/\$ GrpOpHom GrpOpHom

Proof of Theorem ghomco Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fco 6058	. . . . . . 7 $/\$
2	1	ancoms 469	. . . . . 6 $/\$
3	2	ad2ant2r 783	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
4	3	a1i 11	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
6		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
7	5, 6	anim12da 33506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
8		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9	8	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
10		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
11	10	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
12	9, 11	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
13		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
14	13	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
15		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
16	15	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
17	14, 16	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
18	12, 17	rspc2va 3323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
19	7, 18	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
20	19	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
21	20	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22	21	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
24	22, 23	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
25	24	anasss 679	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
26		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
27	26	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
28		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
29	28	ad2ant2rl 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
30	27, 29	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
31	30	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32	31	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
34	33	grpocl 27354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
35	34	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
36		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
37	36	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
38	35, 37	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	38	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	39	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	25, 32, 40	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42	41	expr 643	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43	42	ralimdvva 2964	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
44	43	an32s 846	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
45	44	ex 450	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
46	45	com23 86	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
47	46	anasss 679	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
48	47	imp 445	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
49	48	an32s 846	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
50	49	com12 32	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
51	50	3ad2ant1 1082	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	4, 51	jcad 555	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53		eqid 2622	. . . . . 6
54	33, 53	elghomOLD 33686	. . . . 5 $/\$ GrpOpHom $/\$
55	54	3adant3 1081	. . . 4 $/\$ $/\$ GrpOpHom $/\$
56		eqid 2622	. . . . . 6
57	53, 56	elghomOLD 33686	. . . . 5 $/\$ GrpOpHom $/\$
58	57	3adant1 1079	. . . 4 $/\$ $/\$ GrpOpHom $/\$
59	55, 58	anbi12d 747	. . 3 $/\$ $/\$ GrpOpHom $/\$ GrpOpHom $/\$ $/\$ $/\$
60	33, 56	elghomOLD 33686	. . . 4 $/\$ GrpOpHom $/\$
61	60	3adant2 1080	. . 3 $/\$ $/\$ GrpOpHom $/\$
62	52, 59, 61	3imtr4d 283	. 2 $/\$ $/\$ GrpOpHom $/\$ GrpOpHom GrpOpHom
63	62	imp 445	1 $/\$ $/\$ $/\$ GrpOpHom $/\$ GrpOpHom GrpOpHom

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912

crn 5115

ccom 5118

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cgr 27343 GrpOpHom cghomOLD 33682

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-grpo 27347 df-ghomOLD 33683

This theorem is referenced by: (None)

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