Theorem grpinvhmeo 21890

Description: The inverse function in a topological group is a homeomorphism from the group to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpcn.j	|- J = ( TopOpen ` G )
tgpinv.5	|- I = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
grpinvhmeo	|- ( G e. TopGrp -> I e. ( J Homeo J ) )

Proof of Theorem grpinvhmeo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgpcn.j	. . 3 |- J = ( TopOpen ` G )
2		tgpinv.5	. . 3 |- I = ( invg ` G )
3	1, 2	tgpinv 21889	. 2 |- ( G e. TopGrp -> I e. ( J Cn J ) )
4		tgpgrp 21882	. . . 4 |- ( G e. TopGrp -> G e. Grp )
5		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
6	5, 2	grpinvcnv 17483	. . . 4 |- ( G e. Grp -> `' I = I )
7	4, 6	syl 17	. . 3 |- ( G e. TopGrp -> `' I = I )
8	7, 3	eqeltrd 2701	. 2 |- ( G e. TopGrp -> `' I e. ( J Cn J ) )
9		ishmeo 21562	. 2 |- ( I e. ( J Homeo J ) <-> ( I e. ( J Cn J ) /\ `' I e. ( J Cn J ) ) )
10	3, 8, 9	sylanbrc 698	1 |- ( G e. TopGrp -> I e. ( J Homeo J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   `'ccnv 5113   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   TopOpenctopn 16082   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   Cn ccn 21028   Homeochmeo 21556   TopGrpctgp 21875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-top 20699  df-topon 20716  df-cn 21031  df-hmeo 21558  df-tgp 21877

This theorem is referenced by:  tgpconncomp  21916  tsmsxplem1  21956