Theorem tsmsxplem1 21956

Description: Lemma for tsmsxp 21958. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmsxp.b	|- B = ( Base ` G )
tsmsxp.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
tsmsxp.2	|- ( ph -> G e. TopGrp )
tsmsxp.a	|- ( ph -> A e. V )
tsmsxp.c	|- ( ph -> C e. W )
tsmsxp.f	|- ( ph -> F : ( A X. C ) --> B )
tsmsxp.h	|- ( ph -> H : A --> B )
tsmsxp.1	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( H ` j ) e. ( G tsums ( k e. C |-> ( j F k ) ) ) )
tsmsxp.j	|- J = ( TopOpen ` G )
tsmsxp.z	|- .0. = ( 0g ` G )
tsmsxp.p	|- .+ = ( +g ` G )
tsmsxp.m	|- .- = ( -g ` G )
tsmsxp.l	|- ( ph -> L e. J )
tsmsxp.3	|- ( ph -> .0. e. L )
tsmsxp.k	|- ( ph -> K e. ( ~P A i^i Fin ) )
tsmsxp.ks	|- ( ph -> dom D C_ K )
tsmsxp.d	|- ( ph -> D e. ( ~P ( A X. C ) i^i Fin ) )

Assertion

Ref	Expression
tsmsxplem1	|- ( ph -> E. n e. ( ~P C i^i Fin ) ( ran D C_ n /\ A. x e. K ( ( H ` x ) .- ( G gsumg ( F |` ( { x } X. n ) ) ) ) e. L ) )

Distinct variable groups:   .0. , k   j, k, n, x, G   B, k   D, j, k, n, x   j, L, n, x   A, j, k, n   j, K, k, n, x   j, H, k, n, x   .- , j, n, x   C, j, k, n   j, F, k, n, x   ph, j, k, n

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x)   B( x, j, n)   C( x)   .+ ( x, j, k, n)   J( x, j, k, n)   L( k)   .- ( k)   V( x, j, k, n)   W( x, j, k, n)   .0. ( x, j, n)

Proof of Theorem tsmsxplem1

Dummy variables g y z f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmsxp.k	. . . 4 |- ( ph -> K e. ( ~P A i^i Fin ) )
2		elfpw 8268	. . . . 5 |- ( K e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( K C_ A /\ K e. Fin ) )
3	2	simprbi 480	. . . 4 |- ( K e. ( ~P A i^i Fin ) -> K e. Fin )
4	1, 3	syl 17	. . 3 |- ( ph -> K e. Fin )
5	2	simplbi 476	. . . . . . 7 |- ( K e. ( ~P A i^i Fin ) -> K C_ A )
6	1, 5	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> K C_ A )
7	6	sselda 3603	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. K ) -> j e. A )
8		tsmsxp.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
9		tsmsxp.j	. . . . . 6 |- J = ( TopOpen ` G )
10		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( ~P C i^i Fin ) = ( ~P C i^i Fin )
11		tsmsxp.g	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. CMnd )
12	11	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> G e. CMnd )
13		tsmsxp.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. TopGrp )
14		tgptps 21884	. . . . . . . 8 |- ( G e. TopGrp -> G e. TopSp )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. TopSp )
16	15	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> G e. TopSp )
17		tsmsxp.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. W )
18	17	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> C e. W )
19		tsmsxp.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : ( A X. C ) --> B )
20		fovrn 6804	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : ( A X. C ) --> B /\ j e. A /\ k e. C ) -> ( j F k ) e. B )
21	19, 20	syl3an1 1359	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. A /\ k e. C ) -> ( j F k ) e. B )
22	21	3expa 1265	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. A ) /\ k e. C ) -> ( j F k ) e. B )
23		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( k e. C |-> ( j F k ) ) = ( k e. C |-> ( j F k ) )
24	22, 23	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( k e. C |-> ( j F k ) ) : C --> B )
25		tsmsxp.1	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( H ` j ) e. ( G tsums ( k e. C |-> ( j F k ) ) ) )
26		df-ima 5127	. . . . . . . 8 |- ( ( g e. B |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) " L ) = ran ( ( g e. B |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) |` L )
27	9, 8	tgptopon 21886	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. TopGrp -> J e. (TopOn ` B ) )
28	13, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> J e. (TopOn ` B ) )
29		tsmsxp.l	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> L e. J )
30		toponss 20731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. (TopOn ` B ) /\ L e. J ) -> L C_ B )
31	28, 29, 30	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> L C_ B )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> L C_ B )
33	32	resmptd 5452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( ( g e. B |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) |` L ) = ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) )
34	33	rneqd 5353	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ran ( ( g e. B |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) |` L ) = ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) )
35	26, 34	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( ( g e. B |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) " L ) = ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) )
36		tsmsxp.h	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> H : A --> B )
37	36	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( H ` j ) e. B )
38		tsmsxp.p	. . . . . . . . . . . . 13 |- .+ = ( +g ` G )
39		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
40		tsmsxp.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- .- = ( -g ` G )
41	8, 38, 39, 40	grpsubval 17465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( H ` j ) e. B /\ g e. B ) -> ( ( H ` j ) .- g ) = ( ( H ` j ) .+ ( ( invg ` G ) ` g ) ) )
42	37, 41	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. A ) /\ g e. B ) -> ( ( H ` j ) .- g ) = ( ( H ` j ) .+ ( ( invg ` G ) ` g ) ) )
43	42	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( g e. B |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) = ( g e. B |-> ( ( H ` j ) .+ ( ( invg ` G ) ` g ) ) ) )
44		tgpgrp 21882	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G e. TopGrp -> G e. Grp )
45	13, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G e. Grp )
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> G e. Grp )
47	8, 39	grpinvcl 17467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ g e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` g ) e. B )
48	46, 47	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. A ) /\ g e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` g ) e. B )
49	8, 39	grpinvf 17466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. Grp -> ( invg ` G ) : B --> B )
50	46, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( invg ` G ) : B --> B )
51	50	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( invg ` G ) = ( g e. B |-> ( ( invg ` G ) ` g ) ) )
52		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( y e. B |-> ( ( H ` j ) .+ y ) ) = ( y e. B |-> ( ( H ` j ) .+ y ) ) )
53		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( ( invg ` G ) ` g ) -> ( ( H ` j ) .+ y ) = ( ( H ` j ) .+ ( ( invg ` G ) ` g ) ) )
54	48, 51, 52, 53	fmptco 6396	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( ( y e. B |-> ( ( H ` j ) .+ y ) ) o. ( invg ` G ) ) = ( g e. B |-> ( ( H ` j ) .+ ( ( invg ` G ) ` g ) ) ) )
55	43, 54	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( g e. B |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) = ( ( y e. B |-> ( ( H ` j ) .+ y ) ) o. ( invg ` G ) ) )
56	13	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> G e. TopGrp )
57	9, 39	grpinvhmeo 21890	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. TopGrp -> ( invg ` G ) e. ( J Homeo J ) )
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( invg ` G ) e. ( J Homeo J ) )
59		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. B |-> ( ( H ` j ) .+ y ) ) = ( y e. B |-> ( ( H ` j ) .+ y ) )
60	59, 8, 38, 9	tgplacthmeo 21907	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. TopGrp /\ ( H ` j ) e. B ) -> ( y e. B |-> ( ( H ` j ) .+ y ) ) e. ( J Homeo J ) )
61	56, 37, 60	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( y e. B |-> ( ( H ` j ) .+ y ) ) e. ( J Homeo J ) )
62		hmeoco 21575	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( invg ` G ) e. ( J Homeo J ) /\ ( y e. B |-> ( ( H ` j ) .+ y ) ) e. ( J Homeo J ) ) -> ( ( y e. B |-> ( ( H ` j ) .+ y ) ) o. ( invg ` G ) ) e. ( J Homeo J ) )
63	58, 61, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( ( y e. B |-> ( ( H ` j ) .+ y ) ) o. ( invg ` G ) ) e. ( J Homeo J ) )
64	55, 63	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( g e. B |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) e. ( J Homeo J ) )
65	29	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> L e. J )
66		hmeoima 21568	. . . . . . . 8 |- ( ( ( g e. B |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) e. ( J Homeo J ) /\ L e. J ) -> ( ( g e. B |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) " L ) e. J )
67	64, 65, 66	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( ( g e. B |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) " L ) e. J )
68	35, 67	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) e. J )
69		tsmsxp.z	. . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` G )
70	8, 69, 40	grpsubid1 17500	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( H ` j ) e. B ) -> ( ( H ` j ) .- .0. ) = ( H ` j ) )
71	46, 37, 70	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( ( H ` j ) .- .0. ) = ( H ` j ) )
72		tsmsxp.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> .0. e. L )
73	72	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> .0. e. L )
74		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( ( H ` j ) .- .0. ) e. _V
75		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) = ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) )
76		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( g = .0. -> ( ( H ` j ) .- g ) = ( ( H ` j ) .- .0. ) )
77	75, 76	elrnmpt1s 5373	. . . . . . . 8 |- ( ( .0. e. L /\ ( ( H ` j ) .- .0. ) e. _V ) -> ( ( H ` j ) .- .0. ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) )
78	73, 74, 77	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( ( H ` j ) .- .0. ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) )
79	71, 78	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> ( H ` j ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) )
80	8, 9, 10, 12, 16, 18, 24, 25, 68, 79	tsmsi 21937	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> E. y e. ( ~P C i^i Fin ) A. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` z ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) ) )
81	7, 80	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. K ) -> E. y e. ( ~P C i^i Fin ) A. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` z ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) ) )
82	81	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. j e. K E. y e. ( ~P C i^i Fin ) A. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` z ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) ) )
83		sseq1 3626	. . . . . 6 |- ( y = ( f ` j ) -> ( y C_ z <-> ( f ` j ) C_ z ) )
84	83	imbi1d 331	. . . . 5 |- ( y = ( f ` j ) -> ( ( y C_ z -> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` z ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) ) <-> ( ( f ` j ) C_ z -> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` z ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) ) ) )
85	84	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( y = ( f ` j ) -> ( A. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` z ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) ) <-> A. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( ( f ` j ) C_ z -> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` z ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) ) ) )
86	85	ac6sfi 8204	. . 3 |- ( ( K e. Fin /\ A. j e. K E. y e. ( ~P C i^i Fin ) A. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( y C_ z -> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` z ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) ) ) -> E. f ( f : K --> ( ~P C i^i Fin ) /\ A. j e. K A. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( ( f ` j ) C_ z -> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` z ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) ) ) )
87	4, 82, 86	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> E. f ( f : K --> ( ~P C i^i Fin ) /\ A. j e. K A. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( ( f ` j ) C_ z -> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` z ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) ) ) )
88		frn 6053	. . . . . . . . 9 |- ( f : K --> ( ~P C i^i Fin ) -> ran f C_ ( ~P C i^i Fin ) )
89	88	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> ran f C_ ( ~P C i^i Fin ) )
90		inss1 3833	. . . . . . . 8 |- ( ~P C i^i Fin ) C_ ~P C
91	89, 90	syl6ss 3615	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> ran f C_ ~P C )
92		sspwuni 4611	. . . . . . 7 |- ( ran f C_ ~P C <-> U. ran f C_ C )
93	91, 92	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> U. ran f C_ C )
94		tsmsxp.d	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. ( ~P ( A X. C ) i^i Fin ) )
95		elfpw 8268	. . . . . . . . . 10 |- ( D e. ( ~P ( A X. C ) i^i Fin ) <-> ( D C_ ( A X. C ) /\ D e. Fin ) )
96	95	simplbi 476	. . . . . . . . 9 |- ( D e. ( ~P ( A X. C ) i^i Fin ) -> D C_ ( A X. C ) )
97		rnss 5354	. . . . . . . . 9 |- ( D C_ ( A X. C ) -> ran D C_ ran ( A X. C ) )
98	94, 96, 97	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ran D C_ ran ( A X. C ) )
99		rnxpss 5566	. . . . . . . 8 |- ran ( A X. C ) C_ C
100	98, 99	syl6ss 3615	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran D C_ C )
101	100	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> ran D C_ C )
102	93, 101	unssd 3789	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( U. ran f u. ran D ) C_ C )
103	4	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> K e. Fin )
104		ffn 6045	. . . . . . . . . 10 |- ( f : K --> ( ~P C i^i Fin ) -> f Fn K )
105	104	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> f Fn K )
106		dffn4 6121	. . . . . . . . 9 |- ( f Fn K <-> f : K -onto-> ran f )
107	105, 106	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> f : K -onto-> ran f )
108		fofi 8252	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Fin /\ f : K -onto-> ran f ) -> ran f e. Fin )
109	103, 107, 108	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> ran f e. Fin )
110		inss2 3834	. . . . . . . 8 |- ( ~P C i^i Fin ) C_ Fin
111	89, 110	syl6ss 3615	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> ran f C_ Fin )
112		unifi 8255	. . . . . . 7 |- ( ( ran f e. Fin /\ ran f C_ Fin ) -> U. ran f e. Fin )
113	109, 111, 112	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> U. ran f e. Fin )
114	95	simprbi 480	. . . . . . . 8 |- ( D e. ( ~P ( A X. C ) i^i Fin ) -> D e. Fin )
115		rnfi 8249	. . . . . . . 8 |- ( D e. Fin -> ran D e. Fin )
116	94, 114, 115	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran D e. Fin )
117	116	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> ran D e. Fin )
118		unfi 8227	. . . . . 6 |- ( ( U. ran f e. Fin /\ ran D e. Fin ) -> ( U. ran f u. ran D ) e. Fin )
119	113, 117, 118	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( U. ran f u. ran D ) e. Fin )
120		elfpw 8268	. . . . 5 |- ( ( U. ran f u. ran D ) e. ( ~P C i^i Fin ) <-> ( ( U. ran f u. ran D ) C_ C /\ ( U. ran f u. ran D ) e. Fin ) )
121	102, 119, 120	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( ph /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( U. ran f u. ran D ) e. ( ~P C i^i Fin ) )
122	121	adantrr 753	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f : K --> ( ~P C i^i Fin ) /\ A. j e. K A. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( ( f ` j ) C_ z -> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` z ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) ) ) ) -> ( U. ran f u. ran D ) e. ( ~P C i^i Fin ) )
123		ssun2 3777	. . . 4 |- ran D C_ ( U. ran f u. ran D )
124	123	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f : K --> ( ~P C i^i Fin ) /\ A. j e. K A. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( ( f ` j ) C_ z -> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` z ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) ) ) ) -> ran D C_ ( U. ran f u. ran D ) )
125	121	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( U. ran f u. ran D ) e. ( ~P C i^i Fin ) )
126		fvssunirn 6217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f ` j ) C_ U. ran f
127		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. ran f C_ ( U. ran f u. ran D )
128	126, 127	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f ` j ) C_ ( U. ran f u. ran D )
129		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( U. ran f u. ran D ) -> z = ( U. ran f u. ran D ) )
130	128, 129	syl5sseqr 3654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( U. ran f u. ran D ) -> ( f ` j ) C_ z )
131		pm5.5 351	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` j ) C_ z -> ( ( ( f ` j ) C_ z -> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` z ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) ) <-> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` z ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) ) )
132	130, 131	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( U. ran f u. ran D ) -> ( ( ( f ` j ) C_ z -> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` z ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) ) <-> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` z ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) ) )
133		reseq2 5391	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( U. ran f u. ran D ) -> ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` z ) = ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` ( U. ran f u. ran D ) ) )
134	133	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( U. ran f u. ran D ) -> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` z ) ) = ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` ( U. ran f u. ran D ) ) ) )
135	134	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( U. ran f u. ran D ) -> ( ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` z ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) <-> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` ( U. ran f u. ran D ) ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) ) )
136	132, 135	bitrd 268	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( U. ran f u. ran D ) -> ( ( ( f ` j ) C_ z -> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` z ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) ) <-> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` ( U. ran f u. ran D ) ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) ) )
137	136	rspcv 3305	. . . . . . . . 9 |- ( ( U. ran f u. ran D ) e. ( ~P C i^i Fin ) -> ( A. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( ( f ` j ) C_ z -> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` z ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) ) -> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` ( U. ran f u. ran D ) ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) ) )
138	125, 137	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( A. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( ( f ` j ) C_ z -> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` z ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) ) -> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` ( U. ran f u. ran D ) ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) ) )
139	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> G e. CMnd )
140		cmnmnd 18208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )
141	139, 140	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> G e. Mnd )
142		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> j e. K )
143	119	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( U. ran f u. ran D ) e. Fin )
144	102	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( U. ran f u. ran D ) C_ C )
145	144	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( U. ran f u. ran D ) ) -> k e. C )
146	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. K ) -> F : ( A X. C ) --> B )
147	146, 7	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. K ) -> ( F : ( A X. C ) --> B /\ j e. A ) )
148	20	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F : ( A X. C ) --> B /\ j e. A ) /\ k e. C ) -> ( j F k ) e. B )
149	147, 148	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ k e. C ) -> ( j F k ) e. B )
150	149	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. C ) -> ( j F k ) e. B )
151	145, 150	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( U. ran f u. ran D ) ) -> ( j F k ) e. B )
152		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( U. ran f u. ran D ) |-> ( j F k ) ) = ( k e. ( U. ran f u. ran D ) |-> ( j F k ) )
153	151, 152	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( k e. ( U. ran f u. ran D ) |-> ( j F k ) ) : ( U. ran f u. ran D ) --> B )
154		ovexd 6680	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) /\ k e. ( U. ran f u. ran D ) ) -> ( j F k ) e. _V )
155		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0g ` G ) e. _V
156	69, 155	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- .0. e. _V
157	156	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> .0. e. _V )
158	152, 143, 154, 157	fsuppmptdm 8286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( k e. ( U. ran f u. ran D ) |-> ( j F k ) ) finSupp .0. )
159	8, 69, 139, 143, 153, 158	gsumcl 18316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( G gsumg ( k e. ( U. ran f u. ran D ) |-> ( j F k ) ) ) e. B )
160		velsn 4193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. { j } <-> y = j )
161		ovres 6800	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. { j } /\ k e. ( U. ran f u. ran D ) ) -> ( y ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) k ) = ( y F k ) )
162	160, 161	sylanbr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y = j /\ k e. ( U. ran f u. ran D ) ) -> ( y ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) k ) = ( y F k ) )
163		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = j -> ( y F k ) = ( j F k ) )
164	163	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y = j /\ k e. ( U. ran f u. ran D ) ) -> ( y F k ) = ( j F k ) )
165	162, 164	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y = j /\ k e. ( U. ran f u. ran D ) ) -> ( y ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) k ) = ( j F k ) )
166	165	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = j -> ( k e. ( U. ran f u. ran D ) |-> ( y ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) k ) ) = ( k e. ( U. ran f u. ran D ) |-> ( j F k ) ) )
167	166	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = j -> ( G gsumg ( k e. ( U. ran f u. ran D ) |-> ( y ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) k ) ) ) = ( G gsumg ( k e. ( U. ran f u. ran D ) |-> ( j F k ) ) ) )
168	8, 167	gsumsn 18354	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Mnd /\ j e. K /\ ( G gsumg ( k e. ( U. ran f u. ran D ) |-> ( j F k ) ) ) e. B ) -> ( G gsumg ( y e. { j } |-> ( G gsumg ( k e. ( U. ran f u. ran D ) |-> ( y ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) k ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( k e. ( U. ran f u. ran D ) |-> ( j F k ) ) ) )
169	141, 142, 159, 168	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( G gsumg ( y e. { j } |-> ( G gsumg ( k e. ( U. ran f u. ran D ) |-> ( y ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) k ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( k e. ( U. ran f u. ran D ) |-> ( j F k ) ) ) )
170		snfi 8038	. . . . . . . . . . . . 13 |- { j } e. Fin
171	170	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> { j } e. Fin )
172	19	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> F : ( A X. C ) --> B )
173	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> j e. A )
174	173	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> { j } C_ A )
175		xpss12 5225	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { j } C_ A /\ ( U. ran f u. ran D ) C_ C ) -> ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) C_ ( A X. C ) )
176	174, 144, 175	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) C_ ( A X. C ) )
177	172, 176	fssresd 6071	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) : ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) --> B )
178		xpfi 8231	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { j } e. Fin /\ ( U. ran f u. ran D ) e. Fin ) -> ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) e. Fin )
179	170, 143, 178	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) e. Fin )
180	177, 179, 157	fdmfifsupp 8285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) finSupp .0. )
181	8, 69, 139, 171, 143, 177, 180	gsumxp 18375	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( G gsumg ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) = ( G gsumg ( y e. { j } |-> ( G gsumg ( k e. ( U. ran f u. ran D ) |-> ( y ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) k ) ) ) ) ) )
182	144	resmptd 5452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` ( U. ran f u. ran D ) ) = ( k e. ( U. ran f u. ran D ) |-> ( j F k ) ) )
183	182	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` ( U. ran f u. ran D ) ) ) = ( G gsumg ( k e. ( U. ran f u. ran D ) |-> ( j F k ) ) ) )
184	169, 181, 183	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` ( U. ran f u. ran D ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) )
185	184	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` ( U. ran f u. ran D ) ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) <-> ( G gsumg ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) ) )
186		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H ` j ) .- g ) e. _V
187	75, 186	elrnmpti 5376	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G gsumg ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) <-> E. g e. L ( G gsumg ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) = ( ( H ` j ) .- g ) )
188		isabl 18197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )
189	45, 11, 188	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> G e. Abel )
190	189	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) /\ g e. L ) -> G e. Abel )
191	7, 37	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. K ) -> ( H ` j ) e. B )
192	191	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) /\ g e. L ) -> ( H ` j ) e. B )
193	31	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> L C_ B )
194	193	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) /\ g e. L ) -> g e. B )
195	8, 40, 190, 192, 194	ablnncan 18226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) /\ g e. L ) -> ( ( H ` j ) .- ( ( H ` j ) .- g ) ) = g )
196		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) /\ g e. L ) -> g e. L )
197	195, 196	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) /\ g e. L ) -> ( ( H ` j ) .- ( ( H ` j ) .- g ) ) e. L )
198		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G gsumg ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) = ( ( H ` j ) .- g ) -> ( ( H ` j ) .- ( G gsumg ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) ) = ( ( H ` j ) .- ( ( H ` j ) .- g ) ) )
199	198	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G gsumg ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) = ( ( H ` j ) .- g ) -> ( ( ( H ` j ) .- ( G gsumg ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) ) e. L <-> ( ( H ` j ) .- ( ( H ` j ) .- g ) ) e. L ) )
200	197, 199	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) /\ g e. L ) -> ( ( G gsumg ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) = ( ( H ` j ) .- g ) -> ( ( H ` j ) .- ( G gsumg ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) ) e. L ) )
201	200	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( E. g e. L ( G gsumg ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) = ( ( H ` j ) .- g ) -> ( ( H ` j ) .- ( G gsumg ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) ) e. L ) )
202	187, 201	syl5bi 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) -> ( ( H ` j ) .- ( G gsumg ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) ) e. L ) )
203	185, 202	sylbid 230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` ( U. ran f u. ran D ) ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) -> ( ( H ` j ) .- ( G gsumg ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) ) e. L ) )
204	138, 203	syld 47	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. K ) /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( A. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( ( f ` j ) C_ z -> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` z ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) ) -> ( ( H ` j ) .- ( G gsumg ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) ) e. L ) )
205	204	an32s 846	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) /\ j e. K ) -> ( A. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( ( f ` j ) C_ z -> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` z ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) ) -> ( ( H ` j ) .- ( G gsumg ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) ) e. L ) )
206	205	ralimdva 2962	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f : K --> ( ~P C i^i Fin ) ) -> ( A. j e. K A. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( ( f ` j ) C_ z -> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` z ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) ) -> A. j e. K ( ( H ` j ) .- ( G gsumg ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) ) e. L ) )
207	206	impr 649	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f : K --> ( ~P C i^i Fin ) /\ A. j e. K A. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( ( f ` j ) C_ z -> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` z ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) ) ) ) -> A. j e. K ( ( H ` j ) .- ( G gsumg ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) ) e. L )
208		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( j = x -> ( H ` j ) = ( H ` x ) )
209		sneq 4187	. . . . . . . . . 10 |- ( j = x -> { j } = { x } )
210	209	xpeq1d 5138	. . . . . . . . 9 |- ( j = x -> ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) = ( { x } X. ( U. ran f u. ran D ) ) )
211	210	reseq2d 5396	. . . . . . . 8 |- ( j = x -> ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) = ( F |` ( { x } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) )
212	211	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( j = x -> ( G gsumg ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( { x } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) )
213	208, 212	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( j = x -> ( ( H ` j ) .- ( G gsumg ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) ) = ( ( H ` x ) .- ( G gsumg ( F |` ( { x } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) ) )
214	213	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( j = x -> ( ( ( H ` j ) .- ( G gsumg ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) ) e. L <-> ( ( H ` x ) .- ( G gsumg ( F |` ( { x } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) ) e. L ) )
215	214	cbvralv 3171	. . . 4 |- ( A. j e. K ( ( H ` j ) .- ( G gsumg ( F |` ( { j } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) ) e. L <-> A. x e. K ( ( H ` x ) .- ( G gsumg ( F |` ( { x } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) ) e. L )
216	207, 215	sylib 208	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f : K --> ( ~P C i^i Fin ) /\ A. j e. K A. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( ( f ` j ) C_ z -> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` z ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) ) ) ) -> A. x e. K ( ( H ` x ) .- ( G gsumg ( F |` ( { x } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) ) e. L )
217		sseq2 3627	. . . . 5 |- ( n = ( U. ran f u. ran D ) -> ( ran D C_ n <-> ran D C_ ( U. ran f u. ran D ) ) )
218		xpeq2 5129	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( U. ran f u. ran D ) -> ( { x } X. n ) = ( { x } X. ( U. ran f u. ran D ) ) )
219	218	reseq2d 5396	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( U. ran f u. ran D ) -> ( F |` ( { x } X. n ) ) = ( F |` ( { x } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) )
220	219	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( n = ( U. ran f u. ran D ) -> ( G gsumg ( F |` ( { x } X. n ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( { x } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) )
221	220	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( n = ( U. ran f u. ran D ) -> ( ( H ` x ) .- ( G gsumg ( F |` ( { x } X. n ) ) ) ) = ( ( H ` x ) .- ( G gsumg ( F |` ( { x } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) ) )
222	221	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( n = ( U. ran f u. ran D ) -> ( ( ( H ` x ) .- ( G gsumg ( F |` ( { x } X. n ) ) ) ) e. L <-> ( ( H ` x ) .- ( G gsumg ( F |` ( { x } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) ) e. L ) )
223	222	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( n = ( U. ran f u. ran D ) -> ( A. x e. K ( ( H ` x ) .- ( G gsumg ( F |` ( { x } X. n ) ) ) ) e. L <-> A. x e. K ( ( H ` x ) .- ( G gsumg ( F |` ( { x } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) ) e. L ) )
224	217, 223	anbi12d 747	. . . 4 |- ( n = ( U. ran f u. ran D ) -> ( ( ran D C_ n /\ A. x e. K ( ( H ` x ) .- ( G gsumg ( F |` ( { x } X. n ) ) ) ) e. L ) <-> ( ran D C_ ( U. ran f u. ran D ) /\ A. x e. K ( ( H ` x ) .- ( G gsumg ( F |` ( { x } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) ) e. L ) ) )
225	224	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( ( U. ran f u. ran D ) e. ( ~P C i^i Fin ) /\ ( ran D C_ ( U. ran f u. ran D ) /\ A. x e. K ( ( H ` x ) .- ( G gsumg ( F |` ( { x } X. ( U. ran f u. ran D ) ) ) ) ) e. L ) ) -> E. n e. ( ~P C i^i Fin ) ( ran D C_ n /\ A. x e. K ( ( H ` x ) .- ( G gsumg ( F |` ( { x } X. n ) ) ) ) e. L ) )
226	122, 124, 216, 225	syl12anc 1324	. 2 |- ( ( ph /\ ( f : K --> ( ~P C i^i Fin ) /\ A. j e. K A. z e. ( ~P C i^i Fin ) ( ( f ` j ) C_ z -> ( G gsumg ( ( k e. C |-> ( j F k ) ) |` z ) ) e. ran ( g e. L |-> ( ( H ` j ) .- g ) ) ) ) ) -> E. n e. ( ~P C i^i Fin ) ( ran D C_ n /\ A. x e. K ( ( H ` x ) .- ( G gsumg ( F |` ( { x } X. n ) ) ) ) e. L ) )
227	87, 226	exlimddv 1863	1 |- ( ph -> E. n e. ( ~P C i^i Fin ) ( ran D C_ n /\ A. x e. K ( ( H ` x ) .- ( G gsumg ( F |` ( { x } X. n ) ) ) ) e. L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   TopOpenctopn 16082   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   -gcsg 17424  CMndccmn 18193   Abelcabl 18194  TopOnctopon 20715   TopSpctps 20736   Homeochmeo 21556   TopGrpctgp 21875   tsums ctsu 21929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tmd 21876  df-tgp 21877  df-tsms 21930

This theorem is referenced by:  tsmsxp  21958