Theorem grpoidinvlem3 27360

Description: Lemma for grpoidinv 27362. (Contributed by NM, 11-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpfo.1	|- X = ran G
grpidinvlem3.2	|- ( ph <-> A. x e. X ( U G x ) = x )
grpidinvlem3.3	|- ( ps <-> A. x e. X E. z e. X ( z G x ) = U )

Assertion

Ref	Expression
grpoidinvlem3	|- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) /\ ( ph /\ ps ) ) /\ A e. X ) -> E. y e. X ( ( y G A ) = U /\ ( A G y ) = U ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, G, y, z   x, X, y, z   y, U, x, z   ph, y   ps, y

Allowed substitution hints:   ph( x, z)   ps( x, z)

Proof of Theorem grpoidinvlem3

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpidinvlem3.3	. . . . . 6 |- ( ps <-> A. x e. X E. z e. X ( z G x ) = U )
2		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( z G x ) = ( y G x ) )
3	2	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( ( z G x ) = U <-> ( y G x ) = U ) )
4	3	cbvrexv 3172	. . . . . . 7 |- ( E. z e. X ( z G x ) = U <-> E. y e. X ( y G x ) = U )
5	4	ralbii 2980	. . . . . 6 |- ( A. x e. X E. z e. X ( z G x ) = U <-> A. x e. X E. y e. X ( y G x ) = U )
6	1, 5	bitri 264	. . . . 5 |- ( ps <-> A. x e. X E. y e. X ( y G x ) = U )
7		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( y G x ) = ( y G A ) )
8	7	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( ( y G x ) = U <-> ( y G A ) = U ) )
9	8	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( E. y e. X ( y G x ) = U <-> E. y e. X ( y G A ) = U ) )
10	9	rspccva 3308	. . . . 5 |- ( ( A. x e. X E. y e. X ( y G x ) = U /\ A e. X ) -> E. y e. X ( y G A ) = U )
11	6, 10	sylanb 489	. . . 4 |- ( ( ps /\ A e. X ) -> E. y e. X ( y G A ) = U )
12	11	adantll 750	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ A e. X ) -> E. y e. X ( y G A ) = U )
13	12	adantll 750	. 2 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) /\ ( ph /\ ps ) ) /\ A e. X ) -> E. y e. X ( y G A ) = U )
14		grpfo.1	. . . . . . . . . . . 12 |- X = ran G
15	14	grpocl 27354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. GrpOp /\ A e. X /\ y e. X ) -> ( A G y ) e. X )
16	15	3expa 1265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ A e. X ) /\ y e. X ) -> ( A G y ) e. X )
17	16	adantllr 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) /\ A e. X ) /\ y e. X ) -> ( A G y ) e. X )
18	17	adantllr 755	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) /\ ( ph /\ ps ) ) /\ A e. X ) /\ y e. X ) -> ( A G y ) e. X )
19		grpidinvlem3.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph <-> A. x e. X ( U G x ) = x )
20	19	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. X ( U G x ) = x )
21	20	ad2antrl 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) /\ ( ph /\ ps ) ) -> A. x e. X ( U G x ) = x )
22	21	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) /\ ( ph /\ ps ) ) /\ A e. X ) /\ y e. X ) -> A. x e. X ( U G x ) = x )
23		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( A G y ) -> ( U G x ) = ( U G ( A G y ) ) )
24		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( A G y ) -> x = ( A G y ) )
25	23, 24	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( A G y ) -> ( ( U G x ) = x <-> ( U G ( A G y ) ) = ( A G y ) ) )
26	25	rspcva 3307	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A G y ) e. X /\ A. x e. X ( U G x ) = x ) -> ( U G ( A G y ) ) = ( A G y ) )
27	18, 22, 26	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) /\ ( ph /\ ps ) ) /\ A e. X ) /\ y e. X ) -> ( U G ( A G y ) ) = ( A G y ) )
28	27	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) /\ ( ph /\ ps ) ) /\ A e. X ) /\ y e. X ) /\ ( y G A ) = U ) -> ( U G ( A G y ) ) = ( A G y ) )
29		pm3.22 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. X /\ A e. X ) /\ G e. GrpOp ) -> ( G e. GrpOp /\ ( y e. X /\ A e. X ) ) )
30	29	an31s 848	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ A e. X ) /\ y e. X ) -> ( G e. GrpOp /\ ( y e. X /\ A e. X ) ) )
31	30	adantllr 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) /\ A e. X ) /\ y e. X ) -> ( G e. GrpOp /\ ( y e. X /\ A e. X ) ) )
32	31	adantllr 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) /\ ( ph /\ ps ) ) /\ A e. X ) /\ y e. X ) -> ( G e. GrpOp /\ ( y e. X /\ A e. X ) ) )
33	32	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) /\ ( ph /\ ps ) ) /\ A e. X ) /\ y e. X ) /\ ( y G A ) = U ) -> ( G e. GrpOp /\ ( y e. X /\ A e. X ) ) )
34		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( U G x ) = ( U G y ) )
35		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> x = y )
36	34, 35	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( ( U G x ) = x <-> ( U G y ) = y ) )
37	36	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A. x e. X ( U G x ) = x /\ y e. X ) -> ( U G y ) = y )
38	19, 37	sylanb 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> ( U G y ) = y )
39	38	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ y e. X ) -> ( U G y ) = y )
40	39	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ A e. X ) /\ y e. X ) -> ( U G y ) = y )
41	40	adantlll 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) /\ ( ph /\ ps ) ) /\ A e. X ) /\ y e. X ) -> ( U G y ) = y )
42	41	anim1i 592	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) /\ ( ph /\ ps ) ) /\ A e. X ) /\ y e. X ) /\ ( y G A ) = U ) -> ( ( U G y ) = y /\ ( y G A ) = U ) )
43	14	grpoidinvlem2 27359	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ ( y e. X /\ A e. X ) ) /\ ( ( U G y ) = y /\ ( y G A ) = U ) ) -> ( ( A G y ) G ( A G y ) ) = ( A G y ) )
44	33, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) /\ ( ph /\ ps ) ) /\ A e. X ) /\ y e. X ) /\ ( y G A ) = U ) -> ( ( A G y ) G ( A G y ) ) = ( A G y ) )
45	15	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( A e. X /\ y e. X ) ) -> ( A G y ) e. X )
46	45	ad2ant2rl 785	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) /\ ( ph /\ ( A e. X /\ y e. X ) ) ) -> ( A G y ) e. X )
47		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z = w -> ( z G x ) = ( w G x ) )
48	47	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = w -> ( ( z G x ) = U <-> ( w G x ) = U ) )
49	48	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. z e. X ( z G x ) = U <-> E. w e. X ( w G x ) = U )
50	49	ralbii 2980	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x e. X E. z e. X ( z G x ) = U <-> A. x e. X E. w e. X ( w G x ) = U )
51	1, 50	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ps <-> A. x e. X E. w e. X ( w G x ) = U )
52		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = ( A G y ) -> ( w G x ) = ( w G ( A G y ) ) )
53	52	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( A G y ) -> ( ( w G x ) = U <-> ( w G ( A G y ) ) = U ) )
54	53	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( A G y ) -> ( E. w e. X ( w G x ) = U <-> E. w e. X ( w G ( A G y ) ) = U ) )
55	54	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A G y ) e. X /\ A. x e. X E. w e. X ( w G x ) = U ) -> E. w e. X ( w G ( A G y ) ) = U )
56	51, 55	sylan2b 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A G y ) e. X /\ ps ) -> E. w e. X ( w G ( A G y ) ) = U )
57		anass 681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ w e. X ) /\ ( A G y ) e. X ) <-> ( G e. GrpOp /\ ( w e. X /\ ( A G y ) e. X ) ) )
58	57	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ w e. X ) /\ ( A G y ) e. X ) -> ( G e. GrpOp /\ ( w e. X /\ ( A G y ) e. X ) ) )
59	58	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ ( A G y ) e. X ) /\ w e. X ) -> ( G e. GrpOp /\ ( w e. X /\ ( A G y ) e. X ) ) )
60	59	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( A G y ) e. X ) -> ( w e. X -> ( G e. GrpOp /\ ( w e. X /\ ( A G y ) e. X ) ) ) )
61	45, 60	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( A e. X /\ y e. X ) ) -> ( w e. X -> ( G e. GrpOp /\ ( w e. X /\ ( A G y ) e. X ) ) ) )
62	61	ad2ant2rl 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) /\ ( ph /\ ( A e. X /\ y e. X ) ) ) -> ( w e. X -> ( G e. GrpOp /\ ( w e. X /\ ( A G y ) e. X ) ) ) )
63	62	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) /\ ( ph /\ ( A e. X /\ y e. X ) ) ) /\ w e. X ) -> ( G e. GrpOp /\ ( w e. X /\ ( A G y ) e. X ) ) )
64	14	grpoidinvlem1 27358	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ ( w e. X /\ ( A G y ) e. X ) ) /\ ( ( w G ( A G y ) ) = U /\ ( ( A G y ) G ( A G y ) ) = ( A G y ) ) ) -> ( U G ( A G y ) ) = U )
65	63, 64	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) /\ ( ph /\ ( A e. X /\ y e. X ) ) ) /\ w e. X ) /\ ( ( w G ( A G y ) ) = U /\ ( ( A G y ) G ( A G y ) ) = ( A G y ) ) ) -> ( U G ( A G y ) ) = U )
66	65	exp43 640	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) /\ ( ph /\ ( A e. X /\ y e. X ) ) ) -> ( w e. X -> ( ( w G ( A G y ) ) = U -> ( ( ( A G y ) G ( A G y ) ) = ( A G y ) -> ( U G ( A G y ) ) = U ) ) ) )
67	66	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) /\ ( ph /\ ( A e. X /\ y e. X ) ) ) -> ( E. w e. X ( w G ( A G y ) ) = U -> ( ( ( A G y ) G ( A G y ) ) = ( A G y ) -> ( U G ( A G y ) ) = U ) ) )
68	56, 67	syl5 34	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) /\ ( ph /\ ( A e. X /\ y e. X ) ) ) -> ( ( ( A G y ) e. X /\ ps ) -> ( ( ( A G y ) G ( A G y ) ) = ( A G y ) -> ( U G ( A G y ) ) = U ) ) )
69	46, 68	mpand 711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) /\ ( ph /\ ( A e. X /\ y e. X ) ) ) -> ( ps -> ( ( ( A G y ) G ( A G y ) ) = ( A G y ) -> ( U G ( A G y ) ) = U ) ) )
70	69	exp32 631	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) -> ( ph -> ( ( A e. X /\ y e. X ) -> ( ps -> ( ( ( A G y ) G ( A G y ) ) = ( A G y ) -> ( U G ( A G y ) ) = U ) ) ) ) )
71	70	com34 91	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) -> ( ph -> ( ps -> ( ( A e. X /\ y e. X ) -> ( ( ( A G y ) G ( A G y ) ) = ( A G y ) -> ( U G ( A G y ) ) = U ) ) ) ) )
72	71	imp32 449	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) /\ ( ph /\ ps ) ) -> ( ( A e. X /\ y e. X ) -> ( ( ( A G y ) G ( A G y ) ) = ( A G y ) -> ( U G ( A G y ) ) = U ) ) )
73	72	impl 650	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) /\ ( ph /\ ps ) ) /\ A e. X ) /\ y e. X ) -> ( ( ( A G y ) G ( A G y ) ) = ( A G y ) -> ( U G ( A G y ) ) = U ) )
74	73	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) /\ ( ph /\ ps ) ) /\ A e. X ) /\ y e. X ) /\ ( y G A ) = U ) -> ( ( ( A G y ) G ( A G y ) ) = ( A G y ) -> ( U G ( A G y ) ) = U ) )
75	44, 74	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) /\ ( ph /\ ps ) ) /\ A e. X ) /\ y e. X ) /\ ( y G A ) = U ) -> ( U G ( A G y ) ) = U )
76	28, 75	eqtr3d 2658	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) /\ ( ph /\ ps ) ) /\ A e. X ) /\ y e. X ) /\ ( y G A ) = U ) -> ( A G y ) = U )
77	76	ex 450	. . . 4 |- ( ( ( ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) /\ ( ph /\ ps ) ) /\ A e. X ) /\ y e. X ) -> ( ( y G A ) = U -> ( A G y ) = U ) )
78	77	ancld 576	. . 3 |- ( ( ( ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) /\ ( ph /\ ps ) ) /\ A e. X ) /\ y e. X ) -> ( ( y G A ) = U -> ( ( y G A ) = U /\ ( A G y ) = U ) ) )
79	78	reximdva 3017	. 2 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) /\ ( ph /\ ps ) ) /\ A e. X ) -> ( E. y e. X ( y G A ) = U -> E. y e. X ( ( y G A ) = U /\ ( A G y ) = U ) ) )
80	13, 79	mpd 15	1 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ U e. X ) /\ ( ph /\ ps ) ) /\ A e. X ) -> E. y e. X ( ( y G A ) = U /\ ( A G y ) = U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   ran crn 5115  (class class class)co 6650   GrpOpcgr 27343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fo 5894  df-fv 5896  df-ov 6653  df-grpo 27347

This theorem is referenced by:  grpoidinv  27362