Theorem grpoidinv 27362

Description: A group has a left and right identity element, and every member has a left and right inverse. (Contributed by NM, 14-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpfo.1	|- X = ran G

Assertion

Ref	Expression
grpoidinv	|- ( G e. GrpOp -> E. u e. X A. x e. X ( ( ( u G x ) = x /\ ( x G u ) = x ) /\ E. y e. X ( ( y G x ) = u /\ ( x G y ) = u ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, u, G   u, X, x, y

Proof of Theorem grpoidinv

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( u G z ) = z /\ E. w e. X ( w G z ) = u ) -> ( u G z ) = z )
2	1	ralimi 2952	. . . . . . 7 |- ( A. z e. X ( ( u G z ) = z /\ E. w e. X ( w G z ) = u ) -> A. z e. X ( u G z ) = z )
3		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( z = x -> ( u G z ) = ( u G x ) )
4		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( z = x -> z = x )
5	3, 4	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( ( u G z ) = z <-> ( u G x ) = x ) )
6	5	rspccva 3308	. . . . . . 7 |- ( ( A. z e. X ( u G z ) = z /\ x e. X ) -> ( u G x ) = x )
7	2, 6	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( A. z e. X ( ( u G z ) = z /\ E. w e. X ( w G z ) = u ) /\ x e. X ) -> ( u G x ) = x )
8	7	adantll 750	. . . . 5 |- ( ( ( u e. X /\ A. z e. X ( ( u G z ) = z /\ E. w e. X ( w G z ) = u ) ) /\ x e. X ) -> ( u G x ) = x )
9	8	adantll 750	. . . 4 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ ( u e. X /\ A. z e. X ( ( u G z ) = z /\ E. w e. X ( w G z ) = u ) ) ) /\ x e. X ) -> ( u G x ) = x )
10		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( u e. X /\ A. z e. X ( ( u G z ) = z /\ E. w e. X ( w G z ) = u ) ) ) -> G e. GrpOp )
11	10	anim1i 592	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ ( u e. X /\ A. z e. X ( ( u G z ) = z /\ E. w e. X ( w G z ) = u ) ) ) /\ x e. X ) -> ( G e. GrpOp /\ x e. X ) )
12		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) -> ( G e. GrpOp /\ u e. X ) )
13	12	adantrr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( u e. X /\ A. z e. X ( ( u G z ) = z /\ E. w e. X ( w G z ) = u ) ) ) -> ( G e. GrpOp /\ u e. X ) )
14	13	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ ( u e. X /\ A. z e. X ( ( u G z ) = z /\ E. w e. X ( w G z ) = u ) ) ) /\ x e. X ) -> ( G e. GrpOp /\ u e. X ) )
15	2	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. X /\ A. z e. X ( ( u G z ) = z /\ E. w e. X ( w G z ) = u ) ) -> A. z e. X ( u G z ) = z )
16	15	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ ( u e. X /\ A. z e. X ( ( u G z ) = z /\ E. w e. X ( w G z ) = u ) ) ) /\ x e. X ) -> A. z e. X ( u G z ) = z )
17		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( u G z ) = z /\ E. w e. X ( w G z ) = u ) -> E. w e. X ( w G z ) = u )
18	17	ralimi 2952	. . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. X ( ( u G z ) = z /\ E. w e. X ( w G z ) = u ) -> A. z e. X E. w e. X ( w G z ) = u )
19	18	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. X /\ A. z e. X ( ( u G z ) = z /\ E. w e. X ( w G z ) = u ) ) -> A. z e. X E. w e. X ( w G z ) = u )
20	19	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ ( u e. X /\ A. z e. X ( ( u G z ) = z /\ E. w e. X ( w G z ) = u ) ) ) /\ x e. X ) -> A. z e. X E. w e. X ( w G z ) = u )
21	14, 16, 20	jca32 558	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ ( u e. X /\ A. z e. X ( ( u G z ) = z /\ E. w e. X ( w G z ) = u ) ) ) /\ x e. X ) -> ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ ( A. z e. X ( u G z ) = z /\ A. z e. X E. w e. X ( w G z ) = u ) ) )
22		grpfo.1	. . . . . . . 8 |- X = ran G
23		biid 251	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. X ( u G z ) = z <-> A. z e. X ( u G z ) = z )
24		biid 251	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. X E. w e. X ( w G z ) = u <-> A. z e. X E. w e. X ( w G z ) = u )
25	22, 23, 24	grpoidinvlem3 27360	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. GrpOp /\ u e. X ) /\ ( A. z e. X ( u G z ) = z /\ A. z e. X E. w e. X ( w G z ) = u ) ) /\ x e. X ) -> E. y e. X ( ( y G x ) = u /\ ( x G y ) = u ) )
26	21, 25	sylancom 701	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ ( u e. X /\ A. z e. X ( ( u G z ) = z /\ E. w e. X ( w G z ) = u ) ) ) /\ x e. X ) -> E. y e. X ( ( y G x ) = u /\ ( x G y ) = u ) )
27	22	grpoidinvlem4 27361	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ x e. X ) /\ E. y e. X ( ( y G x ) = u /\ ( x G y ) = u ) ) -> ( x G u ) = ( u G x ) )
28	11, 26, 27	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ ( u e. X /\ A. z e. X ( ( u G z ) = z /\ E. w e. X ( w G z ) = u ) ) ) /\ x e. X ) -> ( x G u ) = ( u G x ) )
29	28, 9	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ ( u e. X /\ A. z e. X ( ( u G z ) = z /\ E. w e. X ( w G z ) = u ) ) ) /\ x e. X ) -> ( x G u ) = x )
30	9, 29, 26	jca31 557	. . 3 |- ( ( ( G e. GrpOp /\ ( u e. X /\ A. z e. X ( ( u G z ) = z /\ E. w e. X ( w G z ) = u ) ) ) /\ x e. X ) -> ( ( ( u G x ) = x /\ ( x G u ) = x ) /\ E. y e. X ( ( y G x ) = u /\ ( x G y ) = u ) ) )
31	30	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( G e. GrpOp /\ ( u e. X /\ A. z e. X ( ( u G z ) = z /\ E. w e. X ( w G z ) = u ) ) ) -> A. x e. X ( ( ( u G x ) = x /\ ( x G u ) = x ) /\ E. y e. X ( ( y G x ) = u /\ ( x G y ) = u ) ) )
32	22	grpolidinv 27355	. 2 |- ( G e. GrpOp -> E. u e. X A. z e. X ( ( u G z ) = z /\ E. w e. X ( w G z ) = u ) )
33	31, 32	reximddv 3018	1 |- ( G e. GrpOp -> E. u e. X A. x e. X ( ( ( u G x ) = x /\ ( x G u ) = x ) /\ E. y e. X ( ( y G x ) = u /\ ( x G y ) = u ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   ran crn 5115  (class class class)co 6650   GrpOpcgr 27343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fo 5894  df-fv 5896  df-ov 6653  df-grpo 27347

This theorem is referenced by:  grpoideu  27363  grpoidval  27367  grpoidinv2  27369  grpomndo  33674