isdrngo2 - Mathbox for Jeff Madsen

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Theorem isdrngo2 33757

Description: A division ring is a ring in which

and every nonzero element is invertible. (Contributed by Jeff Madsen, 8-Jun-2010.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
isdivrng1.1
isdivrng1.2
isdivrng1.3	GId
isdivrng1.4
isdivrng2.5	GId

**Assertion**
Ref	Expression
isdrngo2	$/\$ $/\$ $\$ $\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

Proof of Theorem isdrngo2 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdivrng1.1	. . 3
2		isdivrng1.2	. . 3
3		isdivrng1.3	. . 3 GId
4		isdivrng1.4	. . 3
5	1, 2, 3, 4	isdrngo1 33755	. 2 $/\$ $\$ $\$
6		isdivrng2.5	. . . . . . 7 GId
7	1, 2, 4, 3, 6	dvrunz 33753	. . . . . 6
8	5, 7	sylbir 225	. . . . 5 $/\$ $\$ $\$
9		grporndm 27364	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
10	9	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
11		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$
12		xpss12 5225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
13	11, 11, 12	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $\$
14	1, 2, 4	rngosm 33699	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
15		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
17	13, 16	syl5sseqr 3654	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
19		ssdmres 5420	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
20	18, 19	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
21	20	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
22		dmxpid 5345	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$ $\$
23	21, 22	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
24	10, 23	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
25	24	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
26	25	biimpar 502	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
27		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$ $\$ $\$
28		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$ $\$ $\$
29	27, 28	grpoinvcl 27378	. . . . . . . . . 10 $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
30	29	adantll 750	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
31		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 GId $\$ $\$ GId $\$ $\$
32	27, 31, 28	grpolinv 27380	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ GId $\$ $\$
33	32	adantll 750	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ GId $\$ $\$
34	2	rngomndo 33734	. . . . . . . . . . . . . 14 MndOp
35		mndomgmid 33670	. . . . . . . . . . . . . 14 MndOp
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $\$
38	11, 4	sseqtri 3637	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$
39	2, 1	rngorn1eq 33733	. . . . . . . . . . . . . 14
40	38, 39	syl5sseq 3653	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $\$ $\$
42	1	rneqi 5352	. . . . . . . . . . . . . . . 16
43	4, 42	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15
44	43, 2, 6	rngo1cl 33738	. . . . . . . . . . . . . 14
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$ $\$
46		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $/\$
47	45, 8, 46	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $\$ $\$
48		grpomndo 33674	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\$ $\$ $\$ MndOp
49		mndoismgmOLD 33669	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\$ MndOp $\$ $\$
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$ $\$ $\$
51	50	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
52		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13
53		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$ $\$ $\$
54	52, 6, 53	exidresid 33678	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ GId $\$ $\$
55	37, 41, 47, 51, 54	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $\$ GId $\$ $\$
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ GId $\$ $\$
57	33, 56	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
58		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
59	58	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
60	59	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 $\$ $\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
61	30, 57, 60	syl2anc 693	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
62	26, 61	syldan 487	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
63	24	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
64	63	rexeqdv 3145	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
65		ovres 6800	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
66	65	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
67	66	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
68	67	rexbidva 3049	. . . . . . . . 9 $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
69	68	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
70	64, 69	bitrd 268	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
71	62, 70	mpbid 222	. . . . . 6 $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
72	71	ralrimiva 2966	. . . . 5 $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
73	8, 72	jca 554	. . . 4 $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
74		fvex 6201	. . . . . . . . 9
75	1, 74	eqeltri 2697	. . . . . . . 8
76	75	rnex 7100	. . . . . . 7
77	4, 76	eqeltri 2697	. . . . . 6
78		difexg 4808	. . . . . 6 $\$
79	77, 78	mp1i 13	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
80		ffn 6045	. . . . . . . . 9
81	14, 80	syl 17	. . . . . . . 8
82	81	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\$ $\$
83		fnssres 6004	. . . . . . 7 $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
84	82, 13, 83	sylancl 694	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
85		ovres 6800	. . . . . . . . 9 $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
86	85	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
87		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . 12 $\$
88		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . 12 $\$
89	87, 88	anim12i 590	. . . . . . . . . . 11 $\$ $/\$ $\$ $/\$
90	1, 2, 4	rngocl 33700	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
91	90	3expb 1266	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
92	89, 91	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $/\$ $\$
93	92	adantlr 751	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
94		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16
95	94	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . 15
96	95	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\$
97	96	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$ $\$ $\$
98	97	imdistanri 727	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$
99		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $/\$
100		ssrexv 3667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$ $\$
101	11, 100	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\$
102	1, 2, 3, 4, 6	zerdivemp1x 33746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
103	101, 102	syl3an3 1361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\$
104	87, 103	syl3an2 1360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $\$ $/\$ $\$
105	104	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $\$ $/\$ $\$
106	105	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$
107	106	necon3d 2815	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$
108	107	impr 649	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
109	99, 108	sylan2b 492	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
110	109	an32s 846	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
111	110	ancom2s 844	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
112	98, 111	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$
113	112	an42s 870	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
114	113	adantlrl 756	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
115		eldifsn 4317	. . . . . . . . 9 $\$ $/\$
116	93, 114, 115	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
117	86, 116	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
118	117	ralrimivva 2971	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
119		ffnov 6764	. . . . . 6 $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
120	84, 118, 119	sylanbrc 698	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
121	116	3adantr3 1222	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
122		simpr3 1069	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
123	121, 122	ovresd 6801	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
124	85	3adant3 1081	. . . . . . . 8 $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
125	124	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
126	125	oveq1d 6665	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
127		ovres 6800	. . . . . . . . . 10 $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
128	127	3adant1 1079	. . . . . . . . 9 $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
129	128	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
130	129	oveq2d 6666	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
131		simpr1 1067	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
132		fovrn 6804	. . . . . . . . . 10 $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
133	132	3adant3r1 1274	. . . . . . . . 9 $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
134	120, 133	sylan 488	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
135	131, 134	ovresd 6801	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
136		eldifi 3732	. . . . . . . . . 10 $\$
137	87, 88, 136	3anim123i 1247	. . . . . . . . 9 $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $/\$
138	1, 2, 4	rngoass 33705	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
139	137, 138	sylan2 491	. . . . . . . 8 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
140	139	adantlr 751	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$
141	130, 135, 140	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
142	123, 126, 141	3eqtr4d 2666	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
143	44	anim1i 592	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
144	143, 46	sylibr 224	. . . . . 6 $/\$ $\$
145	144	adantrr 753	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
146		ovres 6800	. . . . . . . 8 $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
147	144, 146	sylan 488	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
148	2, 43, 6	rngolidm 33736	. . . . . . . . 9 $/\$
149	87, 148	sylan2 491	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
150	149	adantlr 751	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\$
151	147, 150	eqtrd 2656	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
152	151	adantlrr 757	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
153	96	rspcva 3307	. . . . . . . . 9 $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
154		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12
155	154	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11
156	155	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . 10 $\$ $\$
157		ovres 6800	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
158	157	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
159	158	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
160	159	rexbidva 3049	. . . . . . . . . . 11 $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
161	160	biimpar 502	. . . . . . . . . 10 $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
162	156, 161	sylan2b 492	. . . . . . . . 9 $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
163	153, 162	syldan 487	. . . . . . . 8 $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
164	163	ancoms 469	. . . . . . 7 $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
165	164	adantll 750	. . . . . 6 $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
166	165	adantlrl 756	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
167	79, 120, 142, 145, 152, 166	isgrpda 33754	. . . 4 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
168	73, 167	impbida 877	. . 3 $\$ $\$ $/\$ $\$ $\$
169	168	pm5.32i 669	. 2 $/\$ $\$ $\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
170	5, 169	bitri 264	1 $/\$ $/\$ $\$ $\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

cvv 3200 $\$ cdif 3571

cin 3573

wss 3574

csn 4177

cxp 5112

cdm 5114

crn 5115

cres 5116

wfn 5883

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

c1st 7166

c2nd 7167

cgr 27343 GIdcgi 27344

cgn 27345

cexid 33643

cmagm 33647 MndOpcmndo 33665

crngo 33693

cdrng 33747

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-1o 7560 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-grpo 27347 df-gid 27348 df-ginv 27349 df-ablo 27399 df-ass 33642 df-exid 33644 df-mgmOLD 33648 df-sgrOLD 33660 df-mndo 33666 df-rngo 33694 df-drngo 33748

This theorem is referenced by: isdrngo3 33758 divrngidl 33827

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