Theorem isgrpo 27351

Description: The predicate "is a group operation." Note that X is the base set of the group. (Contributed by NM, 10-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
isgrp.1	|- X = ran G

Assertion

Ref	Expression
isgrpo	|- ( G e. A -> ( G e. GrpOp <-> ( G : ( X X. X ) --> X /\ A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. X A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, u, y, z, G   u, X, x, y, z

Allowed substitution hints:   A( x, y, z, u)

Proof of Theorem isgrpo

Dummy variables t g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq1 6026	. . . . . 6 |- ( g = G -> ( g : ( t X. t ) --> t <-> G : ( t X. t ) --> t ) )
2		oveq 6656	. . . . . . . . . 10 |- ( g = G -> ( ( x g y ) g z ) = ( ( x g y ) G z ) )
3		oveq 6656	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = G -> ( x g y ) = ( x G y ) )
4	3	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( g = G -> ( ( x g y ) G z ) = ( ( x G y ) G z ) )
5	2, 4	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( g = G -> ( ( x g y ) g z ) = ( ( x G y ) G z ) )
6		oveq 6656	. . . . . . . . . 10 |- ( g = G -> ( x g ( y g z ) ) = ( x G ( y g z ) ) )
7		oveq 6656	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = G -> ( y g z ) = ( y G z ) )
8	7	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( g = G -> ( x G ( y g z ) ) = ( x G ( y G z ) ) )
9	6, 8	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( g = G -> ( x g ( y g z ) ) = ( x G ( y G z ) ) )
10	5, 9	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( ( ( x g y ) g z ) = ( x g ( y g z ) ) <-> ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
11	10	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( A. z e. t ( ( x g y ) g z ) = ( x g ( y g z ) ) <-> A. z e. t ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
12	11	2ralbidv 2989	. . . . . 6 |- ( g = G -> ( A. x e. t A. y e. t A. z e. t ( ( x g y ) g z ) = ( x g ( y g z ) ) <-> A. x e. t A. y e. t A. z e. t ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
13		oveq 6656	. . . . . . . . 9 |- ( g = G -> ( u g x ) = ( u G x ) )
14	13	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( ( u g x ) = x <-> ( u G x ) = x ) )
15		oveq 6656	. . . . . . . . . 10 |- ( g = G -> ( y g x ) = ( y G x ) )
16	15	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( g = G -> ( ( y g x ) = u <-> ( y G x ) = u ) )
17	16	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( E. y e. t ( y g x ) = u <-> E. y e. t ( y G x ) = u ) )
18	14, 17	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( ( ( u g x ) = x /\ E. y e. t ( y g x ) = u ) <-> ( ( u G x ) = x /\ E. y e. t ( y G x ) = u ) ) )
19	18	rexralbidv 3058	. . . . . 6 |- ( g = G -> ( E. u e. t A. x e. t ( ( u g x ) = x /\ E. y e. t ( y g x ) = u ) <-> E. u e. t A. x e. t ( ( u G x ) = x /\ E. y e. t ( y G x ) = u ) ) )
20	1, 12, 19	3anbi123d 1399	. . . . 5 |- ( g = G -> ( ( g : ( t X. t ) --> t /\ A. x e. t A. y e. t A. z e. t ( ( x g y ) g z ) = ( x g ( y g z ) ) /\ E. u e. t A. x e. t ( ( u g x ) = x /\ E. y e. t ( y g x ) = u ) ) <-> ( G : ( t X. t ) --> t /\ A. x e. t A. y e. t A. z e. t ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. t A. x e. t ( ( u G x ) = x /\ E. y e. t ( y G x ) = u ) ) ) )
21	20	exbidv 1850	. . . 4 |- ( g = G -> ( E. t ( g : ( t X. t ) --> t /\ A. x e. t A. y e. t A. z e. t ( ( x g y ) g z ) = ( x g ( y g z ) ) /\ E. u e. t A. x e. t ( ( u g x ) = x /\ E. y e. t ( y g x ) = u ) ) <-> E. t ( G : ( t X. t ) --> t /\ A. x e. t A. y e. t A. z e. t ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. t A. x e. t ( ( u G x ) = x /\ E. y e. t ( y G x ) = u ) ) ) )
22		df-grpo 27347	. . . 4 |- GrpOp = { g | E. t ( g : ( t X. t ) --> t /\ A. x e. t A. y e. t A. z e. t ( ( x g y ) g z ) = ( x g ( y g z ) ) /\ E. u e. t A. x e. t ( ( u g x ) = x /\ E. y e. t ( y g x ) = u ) ) }
23	21, 22	elab2g 3353	. . 3 |- ( G e. A -> ( G e. GrpOp <-> E. t ( G : ( t X. t ) --> t /\ A. x e. t A. y e. t A. z e. t ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. t A. x e. t ( ( u G x ) = x /\ E. y e. t ( y G x ) = u ) ) ) )
24		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( u G x ) = x /\ E. y e. t ( y G x ) = u ) -> ( u G x ) = x )
25	24	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. x e. t ( ( u G x ) = x /\ E. y e. t ( y G x ) = u ) -> A. x e. t ( u G x ) = x )
26		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> ( u G x ) = ( u G z ) )
27		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> x = z )
28	26, 27	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> ( ( u G x ) = x <-> ( u G z ) = z ) )
29		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u G z ) = z <-> z = ( u G z ) )
30	28, 29	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> ( ( u G x ) = x <-> z = ( u G z ) ) )
31	30	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. t -> ( A. x e. t ( u G x ) = x -> z = ( u G z ) ) )
32		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = z -> ( u G y ) = ( u G z ) )
33	32	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = z -> ( z = ( u G y ) <-> z = ( u G z ) ) )
34	33	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. t /\ z = ( u G z ) ) -> E. y e. t z = ( u G y ) )
35	34	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. t -> ( z = ( u G z ) -> E. y e. t z = ( u G y ) ) )
36	31, 35	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. t -> ( A. x e. t ( u G x ) = x -> E. y e. t z = ( u G y ) ) )
37	25, 36	syl5 34	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. t -> ( A. x e. t ( ( u G x ) = x /\ E. y e. t ( y G x ) = u ) -> E. y e. t z = ( u G y ) ) )
38	37	reximdv 3016	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. t -> ( E. u e. t A. x e. t ( ( u G x ) = x /\ E. y e. t ( y G x ) = u ) -> E. u e. t E. y e. t z = ( u G y ) ) )
39	38	impcom 446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. u e. t A. x e. t ( ( u G x ) = x /\ E. y e. t ( y G x ) = u ) /\ z e. t ) -> E. u e. t E. y e. t z = ( u G y ) )
40	39	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( E. u e. t A. x e. t ( ( u G x ) = x /\ E. y e. t ( y G x ) = u ) -> A. z e. t E. u e. t E. y e. t z = ( u G y ) )
41	40	anim2i 593	. . . . . . . 8 |- ( ( G : ( t X. t ) --> t /\ E. u e. t A. x e. t ( ( u G x ) = x /\ E. y e. t ( y G x ) = u ) ) -> ( G : ( t X. t ) --> t /\ A. z e. t E. u e. t E. y e. t z = ( u G y ) ) )
42		foov 6808	. . . . . . . 8 |- ( G : ( t X. t ) -onto-> t <-> ( G : ( t X. t ) --> t /\ A. z e. t E. u e. t E. y e. t z = ( u G y ) ) )
43	41, 42	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( G : ( t X. t ) --> t /\ E. u e. t A. x e. t ( ( u G x ) = x /\ E. y e. t ( y G x ) = u ) ) -> G : ( t X. t ) -onto-> t )
44		forn 6118	. . . . . . . 8 |- ( G : ( t X. t ) -onto-> t -> ran G = t )
45	44	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( G : ( t X. t ) -onto-> t -> t = ran G )
46	43, 45	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( G : ( t X. t ) --> t /\ E. u e. t A. x e. t ( ( u G x ) = x /\ E. y e. t ( y G x ) = u ) ) -> t = ran G )
47	46	3adant2 1080	. . . . 5 |- ( ( G : ( t X. t ) --> t /\ A. x e. t A. y e. t A. z e. t ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. t A. x e. t ( ( u G x ) = x /\ E. y e. t ( y G x ) = u ) ) -> t = ran G )
48	47	pm4.71ri 665	. . . 4 |- ( ( G : ( t X. t ) --> t /\ A. x e. t A. y e. t A. z e. t ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. t A. x e. t ( ( u G x ) = x /\ E. y e. t ( y G x ) = u ) ) <-> ( t = ran G /\ ( G : ( t X. t ) --> t /\ A. x e. t A. y e. t A. z e. t ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. t A. x e. t ( ( u G x ) = x /\ E. y e. t ( y G x ) = u ) ) ) )
49	48	exbii 1774	. . 3 |- ( E. t ( G : ( t X. t ) --> t /\ A. x e. t A. y e. t A. z e. t ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. t A. x e. t ( ( u G x ) = x /\ E. y e. t ( y G x ) = u ) ) <-> E. t ( t = ran G /\ ( G : ( t X. t ) --> t /\ A. x e. t A. y e. t A. z e. t ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. t A. x e. t ( ( u G x ) = x /\ E. y e. t ( y G x ) = u ) ) ) )
50	23, 49	syl6bb 276	. 2 |- ( G e. A -> ( G e. GrpOp <-> E. t ( t = ran G /\ ( G : ( t X. t ) --> t /\ A. x e. t A. y e. t A. z e. t ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. t A. x e. t ( ( u G x ) = x /\ E. y e. t ( y G x ) = u ) ) ) ) )
51		rnexg 7098	. . 3 |- ( G e. A -> ran G e. _V )
52		isgrp.1	. . . . . 6 |- X = ran G
53	52	eqeq2i 2634	. . . . 5 |- ( t = X <-> t = ran G )
54		xpeq1 5128	. . . . . . . . 9 |- ( t = X -> ( t X. t ) = ( X X. t ) )
55		xpeq2 5129	. . . . . . . . 9 |- ( t = X -> ( X X. t ) = ( X X. X ) )
56	54, 55	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( t = X -> ( t X. t ) = ( X X. X ) )
57	56	feq2d 6031	. . . . . . 7 |- ( t = X -> ( G : ( t X. t ) --> t <-> G : ( X X. X ) --> t ) )
58		feq3 6028	. . . . . . 7 |- ( t = X -> ( G : ( X X. X ) --> t <-> G : ( X X. X ) --> X ) )
59	57, 58	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( t = X -> ( G : ( t X. t ) --> t <-> G : ( X X. X ) --> X ) )
60		raleq 3138	. . . . . . . 8 |- ( t = X -> ( A. z e. t ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) <-> A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
61	60	raleqbi1dv 3146	. . . . . . 7 |- ( t = X -> ( A. y e. t A. z e. t ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) <-> A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
62	61	raleqbi1dv 3146	. . . . . 6 |- ( t = X -> ( A. x e. t A. y e. t A. z e. t ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) <-> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
63		rexeq 3139	. . . . . . . . 9 |- ( t = X -> ( E. y e. t ( y G x ) = u <-> E. y e. X ( y G x ) = u ) )
64	63	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( t = X -> ( ( ( u G x ) = x /\ E. y e. t ( y G x ) = u ) <-> ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) )
65	64	raleqbi1dv 3146	. . . . . . 7 |- ( t = X -> ( A. x e. t ( ( u G x ) = x /\ E. y e. t ( y G x ) = u ) <-> A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) )
66	65	rexeqbi1dv 3147	. . . . . 6 |- ( t = X -> ( E. u e. t A. x e. t ( ( u G x ) = x /\ E. y e. t ( y G x ) = u ) <-> E. u e. X A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) )
67	59, 62, 66	3anbi123d 1399	. . . . 5 |- ( t = X -> ( ( G : ( t X. t ) --> t /\ A. x e. t A. y e. t A. z e. t ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. t A. x e. t ( ( u G x ) = x /\ E. y e. t ( y G x ) = u ) ) <-> ( G : ( X X. X ) --> X /\ A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. X A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) ) )
68	53, 67	sylbir 225	. . . 4 |- ( t = ran G -> ( ( G : ( t X. t ) --> t /\ A. x e. t A. y e. t A. z e. t ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. t A. x e. t ( ( u G x ) = x /\ E. y e. t ( y G x ) = u ) ) <-> ( G : ( X X. X ) --> X /\ A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. X A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) ) )
69	68	ceqsexgv 3335	. . 3 |- ( ran G e. _V -> ( E. t ( t = ran G /\ ( G : ( t X. t ) --> t /\ A. x e. t A. y e. t A. z e. t ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. t A. x e. t ( ( u G x ) = x /\ E. y e. t ( y G x ) = u ) ) ) <-> ( G : ( X X. X ) --> X /\ A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. X A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) ) )
70	51, 69	syl 17	. 2 |- ( G e. A -> ( E. t ( t = ran G /\ ( G : ( t X. t ) --> t /\ A. x e. t A. y e. t A. z e. t ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. t A. x e. t ( ( u G x ) = x /\ E. y e. t ( y G x ) = u ) ) ) <-> ( G : ( X X. X ) --> X /\ A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. X A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) ) )
71	50, 70	bitrd 268	1 |- ( G e. A -> ( G e. GrpOp <-> ( G : ( X X. X ) --> X /\ A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) /\ E. u e. X A. x e. X ( ( u G x ) = x /\ E. y e. X ( y G x ) = u ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   X. cxp 5112   ran crn 5115   -->wf 5884   -onto->wfo 5886  (class class class)co 6650   GrpOpcgr 27343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fo 5894  df-fv 5896  df-ov 6653  df-grpo 27347

This theorem is referenced by:  isgrpoi  27352  grpofo  27353  grpolidinv  27355  grpoass  27357  grpomndo  33674  isgrpda  33754