Theorem hausnei 21132

Description: Neighborhood property of a Hausdorff space. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
ist0.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
hausnei	|- ( ( J e. Haus /\ ( P e. X /\ Q e. X /\ P =/= Q ) ) -> E. n e. J E. m e. J ( P e. n /\ Q e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) )

Distinct variable groups:   m, n, J   P, m, n   Q, m, n

Allowed substitution hints:   X( m, n)

Proof of Theorem hausnei

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ist0.1	. . . . . . 7 |- X = U. J
2	1	ishaus 21126	. . . . . 6 |- ( J e. Haus <-> ( J e. Top /\ A. x e. X A. y e. X ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )
3	2	simprbi 480	. . . . 5 |- ( J e. Haus -> A. x e. X A. y e. X ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) )
4		neeq1 2856	. . . . . . 7 |- ( x = P -> ( x =/= y <-> P =/= y ) )
5		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( x = P -> ( x e. n <-> P e. n ) )
6	5	3anbi1d 1403	. . . . . . . 8 |- ( x = P -> ( ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) <-> ( P e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) )
7	6	2rexbidv 3057	. . . . . . 7 |- ( x = P -> ( E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) <-> E. n e. J E. m e. J ( P e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) )
8	4, 7	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( x = P -> ( ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) <-> ( P =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( P e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )
9		neeq2 2857	. . . . . . 7 |- ( y = Q -> ( P =/= y <-> P =/= Q ) )
10		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( y = Q -> ( y e. m <-> Q e. m ) )
11	10	3anbi2d 1404	. . . . . . . 8 |- ( y = Q -> ( ( P e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) <-> ( P e. n /\ Q e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) )
12	11	2rexbidv 3057	. . . . . . 7 |- ( y = Q -> ( E. n e. J E. m e. J ( P e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) <-> E. n e. J E. m e. J ( P e. n /\ Q e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) )
13	9, 12	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( y = Q -> ( ( P =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( P e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) <-> ( P =/= Q -> E. n e. J E. m e. J ( P e. n /\ Q e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )
14	8, 13	rspc2v 3322	. . . . 5 |- ( ( P e. X /\ Q e. X ) -> ( A. x e. X A. y e. X ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) -> ( P =/= Q -> E. n e. J E. m e. J ( P e. n /\ Q e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )
15	3, 14	syl5 34	. . . 4 |- ( ( P e. X /\ Q e. X ) -> ( J e. Haus -> ( P =/= Q -> E. n e. J E. m e. J ( P e. n /\ Q e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )
16	15	ex 450	. . 3 |- ( P e. X -> ( Q e. X -> ( J e. Haus -> ( P =/= Q -> E. n e. J E. m e. J ( P e. n /\ Q e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) ) )
17	16	com3r 87	. 2 |- ( J e. Haus -> ( P e. X -> ( Q e. X -> ( P =/= Q -> E. n e. J E. m e. J ( P e. n /\ Q e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) ) )
18	17	3imp2 1282	1 |- ( ( J e. Haus /\ ( P e. X /\ Q e. X /\ P =/= Q ) ) -> E. n e. J E. m e. J ( P e. n /\ Q e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   (/)c0 3915   U.cuni 4436   Topctop 20698   Hauscha 21112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-uni 4437  df-haus 21119

This theorem is referenced by:  haust1  21156  cnhaus  21158  lmmo  21184  hauscmplem  21209  pthaus  21441  txhaus  21450  xkohaus  21456  hausflimi  21784  hauspwpwf1  21791