Theorem hausflimi 21784

Description: One direction of hausflim 21785. A filter in a Hausdorff space has at most one limit. (Contributed by FL, 14-Nov-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hausflimi	|- ( J e. Haus -> E* x x e. ( J fLim F ) )

Distinct variable groups:   x, F   x, J

Proof of Theorem hausflimi

Dummy variables v u y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> J e. Haus )
2		simprll 802	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> x e. ( J fLim F ) )
3		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- U. J = U. J
4	3	flimelbas 21772	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( J fLim F ) -> x e. U. J )
5	2, 4	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> x e. U. J )
6		simprlr 803	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> y e. ( J fLim F ) )
7	3	flimelbas 21772	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( J fLim F ) -> y e. U. J )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> y e. U. J )
9		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> x =/= y )
10	3	hausnei 21132	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J /\ x =/= y ) ) -> E. u e. J E. v e. J ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) )
11	1, 5, 8, 9, 10	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> E. u e. J E. v e. J ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) )
12		df-3an 1039	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) <-> ( ( x e. u /\ y e. v ) /\ ( u i^i v ) = (/) ) )
13		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) )
14		hausflimlem 21783	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) /\ ( x e. u /\ y e. v ) ) -> ( u i^i v ) =/= (/) )
15	14	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( x e. u /\ y e. v ) ) -> ( u i^i v ) =/= (/) )
16	13, 15	sylanl1 682	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( x e. u /\ y e. v ) ) -> ( u i^i v ) =/= (/) )
17	16	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( x e. u /\ y e. v ) ) -> ( x =/= y -> ( u i^i v ) =/= (/) ) )
18	17	necon4d 2818	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) /\ ( x e. u /\ y e. v ) ) -> ( ( u i^i v ) = (/) -> x = y ) )
19	18	expimpd 629	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) -> ( ( ( x e. u /\ y e. v ) /\ ( u i^i v ) = (/) ) -> x = y ) )
20	12, 19	syl5bi 232	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) /\ ( u e. J /\ v e. J ) ) -> ( ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) -> x = y ) )
21	20	rexlimdvva 3038	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> ( E. u e. J E. v e. J ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) -> x = y ) )
22	11, 21	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Haus /\ ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) /\ x =/= y ) ) -> x = y )
23	22	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) ) -> ( x =/= y -> x = y ) )
24	23	necon1bd 2812	. . . . 5 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) ) -> ( -. x = y -> x = y ) )
25	24	pm2.18d 124	. . . 4 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) ) -> x = y )
26	25	ex 450	. . 3 |- ( J e. Haus -> ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) -> x = y ) )
27	26	alrimivv 1856	. 2 |- ( J e. Haus -> A. x A. y ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) -> x = y ) )
28		eleq1 2689	. . 3 |- ( x = y -> ( x e. ( J fLim F ) <-> y e. ( J fLim F ) ) )
29	28	mo4 2517	. 2 |- ( E* x x e. ( J fLim F ) <-> A. x A. y ( ( x e. ( J fLim F ) /\ y e. ( J fLim F ) ) -> x = y ) )
30	27, 29	sylibr 224	1 |- ( J e. Haus -> E* x x e. ( J fLim F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   E*wmo 2471   =/= wne 2794   E.wrex 2913   i^i cin 3573   (/)c0 3915   U.cuni 4436  (class class class)co 6650   Hauscha 21112   fLim cflim 21738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-fbas 19743  df-top 20699  df-nei 20902  df-haus 21119  df-fil 21650  df-flim 21743

This theorem is referenced by:  hausflim  21785  hausflf  21801  cmetss  23113  minveclem4a  23201