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Theorem hauspwpwf1 21791
Description: Lemma for hauspwpwdom 21792. Points in the closure of a set in a Hausdorff space are characterized by the open neighborhoods they extend into the generating set. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hauspwpwf1.x |- X = U. J
hauspwpwf1.f |- F = ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) |-> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } )
Assertion
Ref Expression
hauspwpwf1 |- ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) -> F : ( ( cls ` J ) ` A ) -1-1-> ~P ~P A )
Distinct variable groups:   j, a, x, A   J, a, j, x   j, X, x
Allowed substitution hints:   F( x, j, a)   X( a)
Proof of Theorem hauspwpwf1
Dummy variables k l y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 3834 . . . . . . . . . 10 |- ( j i^i A ) C_ A
2 vex 3203 . . . . . . . . . . . 12 |- j e. _V
32inex1 4799 . . . . . . . . . . 11 |- ( j i^i A ) e. _V
43elpw 4164 . . . . . . . . . 10 |- ( ( j i^i A ) e. ~P A <-> ( j i^i A ) C_ A )
51, 4mpbir 221 . . . . . . . . 9 |- ( j i^i A ) e. ~P A
6 eleq1 2689 . . . . . . . . 9 |- ( a = ( j i^i A ) -> ( a e. ~P A <-> ( j i^i A ) e. ~P A ) )
75, 6mpbiri 248 . . . . . . . 8 |- ( a = ( j i^i A ) -> a e. ~P A )
87adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) -> a e. ~P A )
98rexlimivw 3029 . . . . . 6 |- ( E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) -> a e. ~P A )
109abssi 3677 . . . . 5 |- { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } C_ ~P A
11 haustop 21135 . . . . . . . . 9 |- ( J e. Haus -> J e. Top )
12 hauspwpwf1.x . . . . . . . . . 10 |- X = U. J
1312topopn 20711 . . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> X e. J )
1411, 13syl 17 . . . . . . . 8 |- ( J e. Haus -> X e. J )
15 ssexg 4804 . . . . . . . 8 |- ( ( A C_ X /\ X e. J ) -> A e. _V )
1614, 15sylan2 491 . . . . . . 7 |- ( ( A C_ X /\ J e. Haus ) -> A e. _V )
1716ancoms 469 . . . . . 6 |- ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) -> A e. _V )
18 pwexg 4850 . . . . . 6 |- ( A e. _V -> ~P A e. _V )
19 elpw2g 4827 . . . . . 6 |- ( ~P A e. _V -> ( { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } e. ~P ~P A <-> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } C_ ~P A ) )
2017, 18, 193syl 18 . . . . 5 |- ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) -> ( { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } e. ~P ~P A <-> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } C_ ~P A ) )
2110, 20mpbiri 248 . . . 4 |- ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) -> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } e. ~P ~P A )
2221a1d 25 . . 3 |- ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) -> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) -> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } e. ~P ~P A ) )
23 simplll 798 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) -> J e. Haus )
2412clsss3 20863 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ X )
2511, 24sylan 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ X )
2625ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) -> ( ( cls ` J ) ` A ) C_ X )
27 simplrl 800 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) -> x e. ( ( cls ` J ) ` A ) )
2826, 27sseldd 3604 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) -> x e. X )
29 simplrr 801 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) -> y e. ( ( cls ` J ) ` A ) )
3026, 29sseldd 3604 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) -> y e. X )
31 simpr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) -> x =/= y )
3212hausnei 21132 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Haus /\ ( x e. X /\ y e. X /\ x =/= y ) ) -> E. k e. J E. l e. J ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) )
3323, 28, 30, 31, 32syl13anc 1328 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) -> E. k e. J E. l e. J ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) )
34 simprll 802 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) -> k e. J )
35 simprr1 1109 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) -> x e. k )
36 eqidd 2623 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) -> ( k i^i A ) = ( k i^i A ) )
37 elequ2 2004 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = k -> ( x e. j <-> x e. k ) )
38 ineq1 3807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = k -> ( j i^i A ) = ( k i^i A ) )
3938eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = k -> ( ( k i^i A ) = ( j i^i A ) <-> ( k i^i A ) = ( k i^i A ) ) )
4037, 39anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = k -> ( ( x e. j /\ ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) <-> ( x e. k /\ ( k i^i A ) = ( k i^i A ) ) ) )
4140rspcev 3309 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. J /\ ( x e. k /\ ( k i^i A ) = ( k i^i A ) ) ) -> E. j e. J ( x e. j /\ ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) )
4234, 35, 36, 41syl12anc 1324 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) -> E. j e. J ( x e. j /\ ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) )
43 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . 14 |- k e. _V
4443inex1 4799 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( k i^i A ) e. _V
45 eqeq1 2626 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = ( k i^i A ) -> ( a = ( j i^i A ) <-> ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) )
4645anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( k i^i A ) -> ( ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) <-> ( x e. j /\ ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) ) )
4746rexbidv 3052 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( k i^i A ) -> ( E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) <-> E. j e. J ( x e. j /\ ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) ) )
4844, 47elab 3350 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k i^i A ) e. { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } <-> E. j e. J ( x e. j /\ ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) )
4942, 48sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) -> ( k i^i A ) e. { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } )
5011ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> J e. Top )
5150ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( j e. J /\ y e. j ) ) -> J e. Top )
52 simplr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> A C_ X )
5352ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( j e. J /\ y e. j ) ) -> A C_ X )
54 simprr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> y e. ( ( cls ` J ) ` A ) )
5554ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( j e. J /\ y e. j ) ) -> y e. ( ( cls ` J ) ` A ) )
56 simplr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) -> l e. J )
5756ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( j e. J /\ y e. j ) ) -> l e. J )
58 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( j e. J /\ y e. j ) ) -> j e. J )
59 inopn 20704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( J e. Top /\ l e. J /\ j e. J ) -> ( l i^i j ) e. J )
6051, 57, 58, 59syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( j e. J /\ y e. j ) ) -> ( l i^i j ) e. J )
61 simpr2 1068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) -> y e. l )
6261ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( j e. J /\ y e. j ) ) -> y e. l )
63 simprr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( j e. J /\ y e. j ) ) -> y e. j )
6462, 63elind 3798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( j e. J /\ y e. j ) ) -> y e. ( l i^i j ) )
6512clsndisj 20879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) /\ ( ( l i^i j ) e. J /\ y e. ( l i^i j ) ) ) -> ( ( l i^i j ) i^i A ) =/= (/) )
6651, 53, 55, 60, 64, 65syl32anc 1334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( j e. J /\ y e. j ) ) -> ( ( l i^i j ) i^i A ) =/= (/) )
67 n0 3931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( l i^i j ) i^i A ) =/= (/) <-> E. z z e. ( ( l i^i j ) i^i A ) )
6866, 67sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( j e. J /\ y e. j ) ) -> E. z z e. ( ( l i^i j ) i^i A ) )
69 elin 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. ( ( l i^i j ) i^i A ) <-> ( z e. ( l i^i j ) /\ z e. A ) )
70 elin 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. ( l i^i j ) <-> ( z e. l /\ z e. j ) )
7170anbi1i 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. ( l i^i j ) /\ z e. A ) <-> ( ( z e. l /\ z e. j ) /\ z e. A ) )
7269, 71bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. ( ( l i^i j ) i^i A ) <-> ( ( z e. l /\ z e. j ) /\ z e. A ) )
73 elin 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z e. ( j i^i A ) <-> ( z e. j /\ z e. A ) )
7473biimpri 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z e. j /\ z e. A ) -> z e. ( j i^i A ) )
7574adantll 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( z e. l /\ z e. j ) /\ z e. A ) -> z e. ( j i^i A ) )
7675ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( ( j e. J /\ y e. j ) /\ ( ( z e. l /\ z e. j ) /\ z e. A ) ) ) -> z e. ( j i^i A ) )
77 simpll 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( z e. l /\ z e. j ) /\ z e. A ) -> z e. l )
7877ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( ( j e. J /\ y e. j ) /\ ( ( z e. l /\ z e. j ) /\ z e. A ) ) ) -> z e. l )
79 simpr3 1069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) -> ( k i^i l ) = (/) )
8079ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( ( j e. J /\ y e. j ) /\ ( ( z e. l /\ z e. j ) /\ z e. A ) ) ) -> ( k i^i l ) = (/) )
81 minel 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) -> -. z e. k )
82 inss1 3833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k i^i A ) C_ k
8382sseli 3599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. ( k i^i A ) -> z e. k )
8481, 83nsyl 135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) -> -. z e. ( k i^i A ) )
8578, 80, 84syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( ( j e. J /\ y e. j ) /\ ( ( z e. l /\ z e. j ) /\ z e. A ) ) ) -> -. z e. ( k i^i A ) )
86 nelneq2 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. ( j i^i A ) /\ -. z e. ( k i^i A ) ) -> -. ( j i^i A ) = ( k i^i A ) )
8776, 85, 86syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( ( j e. J /\ y e. j ) /\ ( ( z e. l /\ z e. j ) /\ z e. A ) ) ) -> -. ( j i^i A ) = ( k i^i A ) )
88 eqcom 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( j i^i A ) = ( k i^i A ) <-> ( k i^i A ) = ( j i^i A ) )
8987, 88sylnib 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( ( j e. J /\ y e. j ) /\ ( ( z e. l /\ z e. j ) /\ z e. A ) ) ) -> -. ( k i^i A ) = ( j i^i A ) )
9089expr 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( j e. J /\ y e. j ) ) -> ( ( ( z e. l /\ z e. j ) /\ z e. A ) -> -. ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) )
9172, 90syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( j e. J /\ y e. j ) ) -> ( z e. ( ( l i^i j ) i^i A ) -> -. ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) )
9291exlimdv 1861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( j e. J /\ y e. j ) ) -> ( E. z z e. ( ( l i^i j ) i^i A ) -> -. ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) )
9368, 92mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ ( j e. J /\ y e. j ) ) -> -. ( k i^i A ) = ( j i^i A ) )
9493anassrs 680 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ j e. J ) /\ y e. j ) -> -. ( k i^i A ) = ( j i^i A ) )
95 nan 604 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ j e. J ) -> -. ( y e. j /\ ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) ) <-> ( ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ j e. J ) /\ y e. j ) -> -. ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) )
9694, 95mpbir 221 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) /\ j e. J ) -> -. ( y e. j /\ ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) )
9796nrexdv 3001 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) -> -. E. j e. J ( y e. j /\ ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) )
9845anbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( k i^i A ) -> ( ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) <-> ( y e. j /\ ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) ) )
9998rexbidv 3052 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = ( k i^i A ) -> ( E. j e. J ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) <-> E. j e. J ( y e. j /\ ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) ) )
10044, 99elab 3350 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k i^i A ) e. { a | E. j e. J ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } <-> E. j e. J ( y e. j /\ ( k i^i A ) = ( j i^i A ) ) )
10197, 100sylnibr 319 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) -> -. ( k i^i A ) e. { a | E. j e. J ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } )
102 nelne1 2890 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k i^i A ) e. { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } /\ -. ( k i^i A ) e. { a | E. j e. J ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } ) -> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } =/= { a | E. j e. J ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } )
10349, 101, 102syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( ( k e. J /\ l e. J ) /\ ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) ) ) -> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } =/= { a | E. j e. J ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } )
104103expr 643 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) /\ ( k e. J /\ l e. J ) ) -> ( ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) -> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } =/= { a | E. j e. J ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } ) )
105104rexlimdvva 3038 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) -> ( E. k e. J E. l e. J ( x e. k /\ y e. l /\ ( k i^i l ) = (/) ) -> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } =/= { a | E. j e. J ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } ) )
10633, 105mpd 15 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) /\ x =/= y ) -> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } =/= { a | E. j e. J ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } )
107106ex 450 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> ( x =/= y -> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } =/= { a | E. j e. J ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } ) )
108107necon4d 2818 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> ( { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } = { a | E. j e. J ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } -> x = y ) )
109 eleq1 2689 . . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x e. j <-> y e. j ) )
110109anbi1d 741 . . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) <-> ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) ) )
111110rexbidv 3052 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) <-> E. j e. J ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) ) )
112111abbidv 2741 . . . . 5 |- ( x = y -> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } = { a | E. j e. J ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } )
113108, 112impbid1 215 . . . 4 |- ( ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) /\ ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) ) -> ( { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } = { a | E. j e. J ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } <-> x = y ) )
114113ex 450 . . 3 |- ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) -> ( ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) /\ y e. ( ( cls ` J ) ` A ) ) -> ( { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } = { a | E. j e. J ( y e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } <-> x = y ) ) )
11522, 114dom2lem 7995 . 2 |- ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) -> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) |-> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } ) : ( ( cls ` J ) ` A ) -1-1-> ~P ~P A )
116 hauspwpwf1.f . . 3 |- F = ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) |-> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } )
117 f1eq1 6096 . . 3 |- ( F = ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) |-> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } ) -> ( F : ( ( cls ` J ) ` A ) -1-1-> ~P ~P A <-> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) |-> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } ) : ( ( cls ` J ) ` A ) -1-1-> ~P ~P A ) )
118116, 117ax-mp 5 . 2 |- ( F : ( ( cls ` J ) ` A ) -1-1-> ~P ~P A <-> ( x e. ( ( cls ` J ) ` A ) |-> { a | E. j e. J ( x e. j /\ a = ( j i^i A ) ) } ) : ( ( cls ` J ) ` A ) -1-1-> ~P ~P A )
119115, 118sylibr 224 1 |- ( ( J e. Haus /\ A C_ X ) -> F : ( ( cls ` J ) ` A ) -1-1-> ~P ~P A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888   Topctop 20698   clsccl 20822   Hauscha 21112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-top 20699  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-haus 21119
This theorem is referenced by:  hauspwpwdom  21792
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