Theorem ishaus 21126

Description: Express the predicate " J is a Hausdorff space." (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
ist0.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
ishaus	|- ( J e. Haus <-> ( J e. Top /\ A. x e. X A. y e. X ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y   m, n, x, y, J   x, X, y

Allowed substitution hints:   X( m, n)

Proof of Theorem ishaus

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unieq 4444	. . . 4 |- ( j = J -> U. j = U. J )
2		ist0.1	. . . 4 |- X = U. J
3	1, 2	syl6eqr 2674	. . 3 |- ( j = J -> U. j = X )
4		rexeq 3139	. . . . . 6 |- ( j = J -> ( E. m e. j ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) <-> E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) )
5	4	rexeqbi1dv 3147	. . . . 5 |- ( j = J -> ( E. n e. j E. m e. j ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) <-> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) )
6	5	imbi2d 330	. . . 4 |- ( j = J -> ( ( x =/= y -> E. n e. j E. m e. j ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) <-> ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )
7	3, 6	raleqbidv 3152	. . 3 |- ( j = J -> ( A. y e. U. j ( x =/= y -> E. n e. j E. m e. j ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) <-> A. y e. X ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )
8	3, 7	raleqbidv 3152	. 2 |- ( j = J -> ( A. x e. U. j A. y e. U. j ( x =/= y -> E. n e. j E. m e. j ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )
9		df-haus 21119	. 2 |- Haus = { j e. Top | A. x e. U. j A. y e. U. j ( x =/= y -> E. n e. j E. m e. j ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) }
10	8, 9	elrab2 3366	1 |- ( J e. Haus <-> ( J e. Top /\ A. x e. X A. y e. X ( x =/= y -> E. n e. J E. m e. J ( x e. n /\ y e. m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   (/)c0 3915   U.cuni 4436   Topctop 20698   Hauscha 21112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-uni 4437  df-haus 21119

This theorem is referenced by:  hausnei  21132  haustop  21135  ishaus2  21155  cnhaus  21158  dishaus  21186  pthaus  21441  hausdiag  21448  txhaus  21450  xkohaus  21456