Theorem lmmo 21184

Description: A sequence in a Hausdorff space converges to at most one limit. Part of Lemma 1.4-2(a) of [Kreyszig] p. 26. (Contributed by NM, 31-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmmo.1	|- ( ph -> J e. Haus )
lmmo.4	|- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) A )
lmmo.5	|- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) B )

Assertion

Ref	Expression
lmmo	|- ( ph -> A = B )

Proof of Theorem lmmo

Dummy variables j k x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an4 865	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. J /\ y e. J ) /\ ( A e. x /\ B e. y ) ) <-> ( ( x e. J /\ A e. x ) /\ ( y e. J /\ B e. y ) ) )
2		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
3		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ A e. x ) ) -> A e. x )
4		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ A e. x ) ) -> 1 e. ZZ )
5		lmmo.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) A )
6	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ A e. x ) ) -> F ( ~~> t ` J ) A )
7		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ A e. x ) ) -> x e. J )
8	2, 3, 4, 6, 7	lmcvg 21066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ A e. x ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. x )
9	8	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x e. J /\ A e. x ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. x ) )
10		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. J /\ B e. y ) ) -> B e. y )
11		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. J /\ B e. y ) ) -> 1 e. ZZ )
12		lmmo.5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) B )
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. J /\ B e. y ) ) -> F ( ~~> t ` J ) B )
14		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. J /\ B e. y ) ) -> y e. J )
15	2, 10, 11, 13, 14	lmcvg 21066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. J /\ B e. y ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. y )
16	15	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( y e. J /\ B e. y ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. y ) )
17	9, 16	anim12d 586	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( x e. J /\ A e. x ) /\ ( y e. J /\ B e. y ) ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. x /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. y ) ) )
18	2	rexanuz2 14089	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. x /\ ( F ` k ) e. y ) <-> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. x /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. y ) )
19		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> j e. ZZ )
20		uzid 11702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ZZ -> j e. ( ZZ>= ` j ) )
21		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ZZ>= ` j ) -> ( ZZ>= ` j ) =/= (/) )
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( ZZ>= ` j ) =/= (/) )
23		r19.2z 4060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ZZ>= ` j ) =/= (/) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. x /\ ( F ` k ) e. y ) ) -> E. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. x /\ ( F ` k ) e. y ) )
24		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` k ) e. ( x i^i y ) <-> ( ( F ` k ) e. x /\ ( F ` k ) e. y ) )
25		n0i 3920	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` k ) e. ( x i^i y ) -> -. ( x i^i y ) = (/) )
26	24, 25	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` k ) e. x /\ ( F ` k ) e. y ) -> -. ( x i^i y ) = (/) )
27	26	rexlimivw 3029	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. x /\ ( F ` k ) e. y ) -> -. ( x i^i y ) = (/) )
28	23, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ZZ>= ` j ) =/= (/) /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. x /\ ( F ` k ) e. y ) ) -> -. ( x i^i y ) = (/) )
29	22, 28	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. NN /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. x /\ ( F ` k ) e. y ) ) -> -. ( x i^i y ) = (/) )
30	29	rexlimiva 3028	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. x /\ ( F ` k ) e. y ) -> -. ( x i^i y ) = (/) )
31	18, 30	sylbir 225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. x /\ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. y ) -> -. ( x i^i y ) = (/) )
32	17, 31	syl6 35	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( x e. J /\ A e. x ) /\ ( y e. J /\ B e. y ) ) -> -. ( x i^i y ) = (/) ) )
33	1, 32	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( x e. J /\ y e. J ) /\ ( A e. x /\ B e. y ) ) -> -. ( x i^i y ) = (/) ) )
34	33	expdimp 453	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( A e. x /\ B e. y ) -> -. ( x i^i y ) = (/) ) )
35		imnan 438	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. x /\ B e. y ) -> -. ( x i^i y ) = (/) ) <-> -. ( ( A e. x /\ B e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) )
36	34, 35	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> -. ( ( A e. x /\ B e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) )
37		df-3an 1039	. . . . . 6 |- ( ( A e. x /\ B e. y /\ ( x i^i y ) = (/) ) <-> ( ( A e. x /\ B e. y ) /\ ( x i^i y ) = (/) ) )
38	36, 37	sylnibr 319	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> -. ( A e. x /\ B e. y /\ ( x i^i y ) = (/) ) )
39	38	anassrs 680	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. J ) /\ y e. J ) -> -. ( A e. x /\ B e. y /\ ( x i^i y ) = (/) ) )
40	39	nrexdv 3001	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. J ) -> -. E. y e. J ( A e. x /\ B e. y /\ ( x i^i y ) = (/) ) )
41	40	nrexdv 3001	. 2 |- ( ph -> -. E. x e. J E. y e. J ( A e. x /\ B e. y /\ ( x i^i y ) = (/) ) )
42		lmmo.1	. . . 4 |- ( ph -> J e. Haus )
43		haustop 21135	. . . . . . 7 |- ( J e. Haus -> J e. Top )
44	42, 43	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. Top )
45		eqid 2622	. . . . . . 7 |- U. J = U. J
46	45	toptopon 20722	. . . . . 6 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
47	44, 46	sylib 208	. . . . 5 |- ( ph -> J e. (TopOn ` U. J ) )
48		lmcl 21101	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ F ( ~~> t ` J ) A ) -> A e. U. J )
49	47, 5, 48	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> A e. U. J )
50		lmcl 21101	. . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ F ( ~~> t ` J ) B ) -> B e. U. J )
51	47, 12, 50	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> B e. U. J )
52	45	hausnei 21132	. . . . 5 |- ( ( J e. Haus /\ ( A e. U. J /\ B e. U. J /\ A =/= B ) ) -> E. x e. J E. y e. J ( A e. x /\ B e. y /\ ( x i^i y ) = (/) ) )
53	52	3exp2 1285	. . . 4 |- ( J e. Haus -> ( A e. U. J -> ( B e. U. J -> ( A =/= B -> E. x e. J E. y e. J ( A e. x /\ B e. y /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) ) ) )
54	42, 49, 51, 53	syl3c 66	. . 3 |- ( ph -> ( A =/= B -> E. x e. J E. y e. J ( A e. x /\ B e. y /\ ( x i^i y ) = (/) ) ) )
55	54	necon1bd 2812	. 2 |- ( ph -> ( -. E. x e. J E. y e. J ( A e. x /\ B e. y /\ ( x i^i y ) = (/) ) -> A = B ) )
56	41, 55	mpd 15	1 |- ( ph -> A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   (/)c0 3915   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   1c1 9937   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   ~~> tclm 21030   Hauscha 21112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-z 11378  df-uz 11688  df-top 20699  df-topon 20716  df-lm 21033  df-haus 21119

This theorem is referenced by:  lmfun  21185  occllem  28162  nlelchi  28920  hmopidmchi  29010