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Theorem xkohaus 21456
Description: If the codomain space is Hausdorff, then the compact-open topology of continuous functions is also Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
xkohaus |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( S ^ko R ) e. Haus )
Proof of Theorem xkohaus
Dummy variables a b f g h u v x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 21135 . . 3 |- ( S e. Haus -> S e. Top )
2 xkotop 21391 . . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( S ^ko R ) e. Top )
31, 2sylan2 491 . 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( S ^ko R ) e. Top )
4 eqid 2622 . . . . . . . 8 |- ( S ^ko R ) = ( S ^ko R )
54xkouni 21402 . . . . . . 7 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R Cn S ) = U. ( S ^ko R ) )
61, 5sylan2 491 . . . . . 6 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( R Cn S ) = U. ( S ^ko R ) )
76eleq2d 2687 . . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( f e. ( R Cn S ) <-> f e. U. ( S ^ko R ) ) )
86eleq2d 2687 . . . . 5 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( g e. ( R Cn S ) <-> g e. U. ( S ^ko R ) ) )
97, 8anbi12d 747 . . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) <-> ( f e. U. ( S ^ko R ) /\ g e. U. ( S ^ko R ) ) ) )
10 simprl 794 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> f e. ( R Cn S ) )
11 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- U. R = U. R
12 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- U. S = U. S
1311, 12cnf 21050 . . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( R Cn S ) -> f : U. R --> U. S )
1410, 13syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> f : U. R --> U. S )
15 ffn 6045 . . . . . . . . 9 |- ( f : U. R --> U. S -> f Fn U. R )
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> f Fn U. R )
17 simprr 796 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> g e. ( R Cn S ) )
1811, 12cnf 21050 . . . . . . . . . 10 |- ( g e. ( R Cn S ) -> g : U. R --> U. S )
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> g : U. R --> U. S )
20 ffn 6045 . . . . . . . . 9 |- ( g : U. R --> U. S -> g Fn U. R )
2119, 20syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> g Fn U. R )
22 eqfnfv 6311 . . . . . . . 8 |- ( ( f Fn U. R /\ g Fn U. R ) -> ( f = g <-> A. x e. U. R ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
2316, 21, 22syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> ( f = g <-> A. x e. U. R ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
2423necon3abid 2830 . . . . . 6 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> ( f =/= g <-> -. A. x e. U. R ( f ` x ) = ( g ` x ) ) )
25 rexnal 2995 . . . . . . 7 |- ( E. x e. U. R -. ( f ` x ) = ( g ` x ) <-> -. A. x e. U. R ( f ` x ) = ( g ` x ) )
26 df-ne 2795 . . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` x ) =/= ( g ` x ) <-> -. ( f ` x ) = ( g ` x ) )
27 simpllr 799 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> S e. Haus )
2814adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> f : U. R --> U. S )
29 simprl 794 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> x e. U. R )
3028, 29ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> ( f ` x ) e. U. S )
3119adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> g : U. R --> U. S )
3231, 29ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> ( g ` x ) e. U. S )
33 simprr 796 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> ( f ` x ) =/= ( g ` x ) )
3412hausnei 21132 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. Haus /\ ( ( f ` x ) e. U. S /\ ( g ` x ) e. U. S /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> E. a e. S E. b e. S ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) )
3527, 30, 32, 33, 34syl13anc 1328 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ ( x e. U. R /\ ( f ` x ) =/= ( g ` x ) ) ) -> E. a e. S E. b e. S ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) )
3635expr 643 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) -> ( ( f ` x ) =/= ( g ` x ) -> E. a e. S E. b e. S ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) )
3726, 36syl5bir 233 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) -> ( -. ( f ` x ) = ( g ` x ) -> E. a e. S E. b e. S ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) )
38 simp-4l 806 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> R e. Top )
391ad4antlr 769 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> S e. Top )
40 simplr 792 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> x e. U. R )
4140snssd 4340 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { x } C_ U. R )
4211toptopon 20722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R e. Top <-> R e. (TopOn ` U. R ) )
4338, 42sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> R e. (TopOn ` U. R ) )
44 restsn2 20975 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. (TopOn ` U. R ) /\ x e. U. R ) -> ( R ↾t { x } ) = ~P { x } )
4543, 40, 44syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( R ↾t { x } ) = ~P { x } )
46 snfi 8038 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- { x } e. Fin
47 discmp 21201 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { x } e. Fin <-> ~P { x } e. Comp )
4846, 47mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ~P { x } e. Comp
4945, 48syl6eqel 2709 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( R ↾t { x } ) e. Comp )
50 simprll 802 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> a e. S )
5111, 38, 39, 41, 49, 50xkoopn 21392 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } e. ( S ^ko R ) )
52 simprlr 803 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> b e. S )
5311, 38, 39, 41, 49, 52xkoopn 21392 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } e. ( S ^ko R ) )
5410ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> f e. ( R Cn S ) )
5516ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> f Fn U. R )
56 fnsnfv 6258 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f Fn U. R /\ x e. U. R ) -> { ( f ` x ) } = ( f " { x } ) )
5755, 40, 56syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { ( f ` x ) } = ( f " { x } ) )
58 simprr1 1109 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( f ` x ) e. a )
5958snssd 4340 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { ( f ` x ) } C_ a )
6057, 59eqsstr3d 3640 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( f " { x } ) C_ a )
61 imaeq1 5461 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = f -> ( h " { x } ) = ( f " { x } ) )
6261sseq1d 3632 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = f -> ( ( h " { x } ) C_ a <-> ( f " { x } ) C_ a ) )
6362elrab 3363 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } <-> ( f e. ( R Cn S ) /\ ( f " { x } ) C_ a ) )
6454, 60, 63sylanbrc 698 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } )
6517ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> g e. ( R Cn S ) )
6621ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> g Fn U. R )
67 fnsnfv 6258 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g Fn U. R /\ x e. U. R ) -> { ( g ` x ) } = ( g " { x } ) )
6866, 40, 67syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { ( g ` x ) } = ( g " { x } ) )
69 simprr2 1110 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( g ` x ) e. b )
7069snssd 4340 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { ( g ` x ) } C_ b )
7168, 70eqsstr3d 3640 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( g " { x } ) C_ b )
72 imaeq1 5461 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h = g -> ( h " { x } ) = ( g " { x } ) )
7372sseq1d 3632 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h = g -> ( ( h " { x } ) C_ b <-> ( g " { x } ) C_ b ) )
7473elrab 3363 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( g e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } <-> ( g e. ( R Cn S ) /\ ( g " { x } ) C_ b ) )
7565, 71, 74sylanbrc 698 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> g e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } )
76 inrab 3899 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) = { h e. ( R Cn S ) | ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) }
77 simpllr 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> x e. U. R )
7811, 12cnf 21050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( h e. ( R Cn S ) -> h : U. R --> U. S )
79 fdm 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( h : U. R --> U. S -> dom h = U. R )
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( h e. ( R Cn S ) -> dom h = U. R )
8180adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> dom h = U. R )
8277, 81eleqtrrd 2704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> x e. dom h )
83 simprr3 1111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( a i^i b ) = (/) )
8483adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> ( a i^i b ) = (/) )
85 sseq0 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( h " { x } ) C_ ( a i^i b ) /\ ( a i^i b ) = (/) ) -> ( h " { x } ) = (/) )
8685expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a i^i b ) = (/) -> ( ( h " { x } ) C_ ( a i^i b ) -> ( h " { x } ) = (/) ) )
8784, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> ( ( h " { x } ) C_ ( a i^i b ) -> ( h " { x } ) = (/) ) )
88 imadisj 5484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( h " { x } ) = (/) <-> ( dom h i^i { x } ) = (/) )
89 disjsn 4246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( dom h i^i { x } ) = (/) <-> -. x e. dom h )
9088, 89bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( h " { x } ) = (/) <-> -. x e. dom h )
9187, 90syl6ib 241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> ( ( h " { x } ) C_ ( a i^i b ) -> -. x e. dom h ) )
9282, 91mt2d 131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> -. ( h " { x } ) C_ ( a i^i b ) )
93 ssin 3835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) <-> ( h " { x } ) C_ ( a i^i b ) )
9492, 93sylnibr 319 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) /\ h e. ( R Cn S ) ) -> -. ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) )
9594ralrimiva 2966 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> A. h e. ( R Cn S ) -. ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) )
96 rabeq0 3957 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { h e. ( R Cn S ) | ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) } = (/) <-> A. h e. ( R Cn S ) -. ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) )
9795, 96sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> { h e. ( R Cn S ) | ( ( h " { x } ) C_ a /\ ( h " { x } ) C_ b ) } = (/) )
9876, 97syl5eq 2668 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) = (/) )
99 eleq2 2690 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } -> ( f e. u <-> f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } ) )
100 ineq1 3807 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } -> ( u i^i v ) = ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i v ) )
101100eqeq1d 2624 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } -> ( ( u i^i v ) = (/) <-> ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i v ) = (/) ) )
10299, 1013anbi13d 1401 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } -> ( ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) <-> ( f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } /\ g e. v /\ ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i v ) = (/) ) ) )
103 eleq2 2690 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } -> ( g e. v <-> g e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) )
104 ineq2 3808 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } -> ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i v ) = ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) )
105104eqeq1d 2624 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } -> ( ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i v ) = (/) <-> ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) = (/) ) )
106103, 1053anbi23d 1402 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } -> ( ( f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } /\ g e. v /\ ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i v ) = (/) ) <-> ( f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } /\ g e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } /\ ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) = (/) ) ) )
107102, 106rspc2ev 3324 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } e. ( S ^ko R ) /\ { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } e. ( S ^ko R ) /\ ( f e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } /\ g e. { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } /\ ( { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ a } i^i { h e. ( R Cn S ) | ( h " { x } ) C_ b } ) = (/) ) ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) )
10851, 53, 64, 75, 98, 107syl113anc 1338 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) ) ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) )
109108expr 643 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
110109rexlimdvva 3038 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) -> ( E. a e. S E. b e. S ( ( f ` x ) e. a /\ ( g ` x ) e. b /\ ( a i^i b ) = (/) ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
11137, 110syld 47 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) /\ x e. U. R ) -> ( -. ( f ` x ) = ( g ` x ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
112111rexlimdva 3031 . . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> ( E. x e. U. R -. ( f ` x ) = ( g ` x ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
11325, 112syl5bir 233 . . . . . 6 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> ( -. A. x e. U. R ( f ` x ) = ( g ` x ) -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
11424, 113sylbid 230 . . . . 5 |- ( ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) /\ ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) ) -> ( f =/= g -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
115114ex 450 . . . 4 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( ( f e. ( R Cn S ) /\ g e. ( R Cn S ) ) -> ( f =/= g -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) )
1169, 115sylbird 250 . . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( ( f e. U. ( S ^ko R ) /\ g e. U. ( S ^ko R ) ) -> ( f =/= g -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) )
117116ralrimivv 2970 . 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> A. f e. U. ( S ^ko R ) A. g e. U. ( S ^ko R ) ( f =/= g -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
118 eqid 2622 . . 3 |- U. ( S ^ko R ) = U. ( S ^ko R )
119118ishaus 21126 . 2 |- ( ( S ^ko R ) e. Haus <-> ( ( S ^ko R ) e. Top /\ A. f e. U. ( S ^ko R ) A. g e. U. ( S ^ko R ) ( f =/= g -> E. u e. ( S ^ko R ) E. v e. ( S ^ko R ) ( f e. u /\ g e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) )
1203, 117, 119sylanbrc 698 1 |- ( ( R e. Top /\ S e. Haus ) -> ( S ^ko R ) e. Haus )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   dom cdm 5114   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   ↾t crest 16081   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   Hauscha 21112   Compccmp 21189   ^ko cxko 21364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-xko 21366
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