Theorem pthaus 21441

Description: The product of a collection of Hausdorff spaces is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pthaus	|- ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) -> ( Xt_ ` F ) e. Haus )

Proof of Theorem pthaus

Dummy variables k m n x y z u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		haustop 21135	. . . . 5 |- ( x e. Haus -> x e. Top )
2	1	ssriv 3607	. . . 4 |- Haus C_ Top
3		fss 6056	. . . 4 |- ( ( F : A --> Haus /\ Haus C_ Top ) -> F : A --> Top )
4	2, 3	mpan2 707	. . 3 |- ( F : A --> Haus -> F : A --> Top )
5		pttop 21385	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( Xt_ ` F ) e. Top )
6	4, 5	sylan2 491	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) -> ( Xt_ ` F ) e. Top )
7		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) -> x e. U. ( Xt_ ` F ) )
8		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( Xt_ ` F ) = ( Xt_ ` F )
9	8	ptuni 21397	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. ( Xt_ ` F ) )
10	4, 9	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. ( Xt_ ` F ) )
11	10	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. ( Xt_ ` F ) )
12	7, 11	eleqtrrd 2704	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) -> x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) )
13		ixpfn 7914	. . . . . . 7 |- ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) -> x Fn A )
14	12, 13	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) -> x Fn A )
15		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) -> y e. U. ( Xt_ ` F ) )
16	15, 11	eleqtrrd 2704	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) -> y e. X_ k e. A U. ( F ` k ) )
17		ixpfn 7914	. . . . . . 7 |- ( y e. X_ k e. A U. ( F ` k ) -> y Fn A )
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) -> y Fn A )
19		eqfnfv 6311	. . . . . 6 |- ( ( x Fn A /\ y Fn A ) -> ( x = y <-> A. k e. A ( x ` k ) = ( y ` k ) ) )
20	14, 18, 19	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) -> ( x = y <-> A. k e. A ( x ` k ) = ( y ` k ) ) )
21	20	necon3abid 2830	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) -> ( x =/= y <-> -. A. k e. A ( x ` k ) = ( y ` k ) ) )
22		rexnal 2995	. . . . 5 |- ( E. k e. A -. ( x ` k ) = ( y ` k ) <-> -. A. k e. A ( x ` k ) = ( y ` k ) )
23		df-ne 2795	. . . . . . 7 |- ( ( x ` k ) =/= ( y ` k ) <-> -. ( x ` k ) = ( y ` k ) )
24		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( k e. A /\ ( x ` k ) =/= ( y ` k ) ) ) -> F : A --> Haus )
25		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( k e. A /\ ( x ` k ) =/= ( y ` k ) ) ) -> k e. A )
26	24, 25	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( k e. A /\ ( x ` k ) =/= ( y ` k ) ) ) -> ( F ` k ) e. Haus )
27		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
28	27	elixp 7915	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) <-> ( x Fn A /\ A. k e. A ( x ` k ) e. U. ( F ` k ) ) )
29	28	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) -> A. k e. A ( x ` k ) e. U. ( F ` k ) )
30	12, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) -> A. k e. A ( x ` k ) e. U. ( F ` k ) )
31	30	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ k e. A ) -> ( x ` k ) e. U. ( F ` k ) )
32	31	adantrr 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( k e. A /\ ( x ` k ) =/= ( y ` k ) ) ) -> ( x ` k ) e. U. ( F ` k ) )
33		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- y e. _V
34	33	elixp 7915	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. X_ k e. A U. ( F ` k ) <-> ( y Fn A /\ A. k e. A ( y ` k ) e. U. ( F ` k ) ) )
35	34	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. X_ k e. A U. ( F ` k ) -> A. k e. A ( y ` k ) e. U. ( F ` k ) )
36	16, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) -> A. k e. A ( y ` k ) e. U. ( F ` k ) )
37	36	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ k e. A ) -> ( y ` k ) e. U. ( F ` k ) )
38	37	adantrr 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( k e. A /\ ( x ` k ) =/= ( y ` k ) ) ) -> ( y ` k ) e. U. ( F ` k ) )
39		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( k e. A /\ ( x ` k ) =/= ( y ` k ) ) ) -> ( x ` k ) =/= ( y ` k ) )
40		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- U. ( F ` k ) = U. ( F ` k )
41	40	hausnei 21132	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` k ) e. Haus /\ ( ( x ` k ) e. U. ( F ` k ) /\ ( y ` k ) e. U. ( F ` k ) /\ ( x ` k ) =/= ( y ` k ) ) ) -> E. m e. ( F ` k ) E. n e. ( F ` k ) ( ( x ` k ) e. m /\ ( y ` k ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) )
42	26, 32, 38, 39, 41	syl13anc 1328	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( k e. A /\ ( x ` k ) =/= ( y ` k ) ) ) -> E. m e. ( F ` k ) E. n e. ( F ` k ) ( ( x ` k ) e. m /\ ( y ` k ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) )
43		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( k e. A /\ ( x ` k ) =/= ( y ` k ) ) ) /\ ( ( m e. ( F ` k ) /\ n e. ( F ` k ) ) /\ ( ( x ` k ) e. m /\ ( y ` k ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) -> A e. V )
44	4	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( k e. A /\ ( x ` k ) =/= ( y ` k ) ) ) /\ ( ( m e. ( F ` k ) /\ n e. ( F ` k ) ) /\ ( ( x ` k ) e. m /\ ( y ` k ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) -> F : A --> Top )
45	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( k e. A /\ ( x ` k ) =/= ( y ` k ) ) ) /\ ( ( m e. ( F ` k ) /\ n e. ( F ` k ) ) /\ ( ( x ` k ) e. m /\ ( y ` k ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) -> k e. A )
46		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. ( Xt_ ` F ) = U. ( Xt_ ` F )
47	46, 8	ptpjcn 21414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ k e. A ) -> ( z e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( z ` k ) ) e. ( ( Xt_ ` F ) Cn ( F ` k ) ) )
48	43, 44, 45, 47	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( k e. A /\ ( x ` k ) =/= ( y ` k ) ) ) /\ ( ( m e. ( F ` k ) /\ n e. ( F ` k ) ) /\ ( ( x ` k ) e. m /\ ( y ` k ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) -> ( z e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( z ` k ) ) e. ( ( Xt_ ` F ) Cn ( F ` k ) ) )
49		simprll 802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( k e. A /\ ( x ` k ) =/= ( y ` k ) ) ) /\ ( ( m e. ( F ` k ) /\ n e. ( F ` k ) ) /\ ( ( x ` k ) e. m /\ ( y ` k ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) -> m e. ( F ` k ) )
50		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( z ` k ) ) = ( z e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( z ` k ) )
51	50	mptpreima 5628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( `' ( z e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( z ` k ) ) " m ) = { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. m }
52		cnima 21069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( z ` k ) ) e. ( ( Xt_ ` F ) Cn ( F ` k ) ) /\ m e. ( F ` k ) ) -> ( `' ( z e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( z ` k ) ) " m ) e. ( Xt_ ` F ) )
53	51, 52	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( z ` k ) ) e. ( ( Xt_ ` F ) Cn ( F ` k ) ) /\ m e. ( F ` k ) ) -> { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. m } e. ( Xt_ ` F ) )
54	48, 49, 53	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( k e. A /\ ( x ` k ) =/= ( y ` k ) ) ) /\ ( ( m e. ( F ` k ) /\ n e. ( F ` k ) ) /\ ( ( x ` k ) e. m /\ ( y ` k ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) -> { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. m } e. ( Xt_ ` F ) )
55		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( k e. A /\ ( x ` k ) =/= ( y ` k ) ) ) /\ ( ( m e. ( F ` k ) /\ n e. ( F ` k ) ) /\ ( ( x ` k ) e. m /\ ( y ` k ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) -> n e. ( F ` k ) )
56	50	mptpreima 5628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( `' ( z e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( z ` k ) ) " n ) = { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. n }
57		cnima 21069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( z ` k ) ) e. ( ( Xt_ ` F ) Cn ( F ` k ) ) /\ n e. ( F ` k ) ) -> ( `' ( z e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( z ` k ) ) " n ) e. ( Xt_ ` F ) )
58	56, 57	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. U. ( Xt_ ` F ) |-> ( z ` k ) ) e. ( ( Xt_ ` F ) Cn ( F ` k ) ) /\ n e. ( F ` k ) ) -> { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. n } e. ( Xt_ ` F ) )
59	48, 55, 58	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( k e. A /\ ( x ` k ) =/= ( y ` k ) ) ) /\ ( ( m e. ( F ` k ) /\ n e. ( F ` k ) ) /\ ( ( x ` k ) e. m /\ ( y ` k ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) -> { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. n } e. ( Xt_ ` F ) )
60	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( k e. A /\ ( x ` k ) =/= ( y ` k ) ) ) /\ ( ( m e. ( F ` k ) /\ n e. ( F ` k ) ) /\ ( ( x ` k ) e. m /\ ( y ` k ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) -> x e. U. ( Xt_ ` F ) )
61		simprr1 1109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( k e. A /\ ( x ` k ) =/= ( y ` k ) ) ) /\ ( ( m e. ( F ` k ) /\ n e. ( F ` k ) ) /\ ( ( x ` k ) e. m /\ ( y ` k ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) -> ( x ` k ) e. m )
62		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> ( z ` k ) = ( x ` k ) )
63	62	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> ( ( z ` k ) e. m <-> ( x ` k ) e. m ) )
64	63	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. m } <-> ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ ( x ` k ) e. m ) )
65	60, 61, 64	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( k e. A /\ ( x ` k ) =/= ( y ` k ) ) ) /\ ( ( m e. ( F ` k ) /\ n e. ( F ` k ) ) /\ ( ( x ` k ) e. m /\ ( y ` k ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) -> x e. { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. m } )
66	15	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( k e. A /\ ( x ` k ) =/= ( y ` k ) ) ) /\ ( ( m e. ( F ` k ) /\ n e. ( F ` k ) ) /\ ( ( x ` k ) e. m /\ ( y ` k ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) -> y e. U. ( Xt_ ` F ) )
67		simprr2 1110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( k e. A /\ ( x ` k ) =/= ( y ` k ) ) ) /\ ( ( m e. ( F ` k ) /\ n e. ( F ` k ) ) /\ ( ( x ` k ) e. m /\ ( y ` k ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) -> ( y ` k ) e. n )
68		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = y -> ( z ` k ) = ( y ` k ) )
69	68	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = y -> ( ( z ` k ) e. n <-> ( y ` k ) e. n ) )
70	69	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. n } <-> ( y e. U. ( Xt_ ` F ) /\ ( y ` k ) e. n ) )
71	66, 67, 70	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( k e. A /\ ( x ` k ) =/= ( y ` k ) ) ) /\ ( ( m e. ( F ` k ) /\ n e. ( F ` k ) ) /\ ( ( x ` k ) e. m /\ ( y ` k ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) -> y e. { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. n } )
72		inrab 3899	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. m } i^i { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. n } ) = { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( ( z ` k ) e. m /\ ( z ` k ) e. n ) }
73		simprr3 1111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( k e. A /\ ( x ` k ) =/= ( y ` k ) ) ) /\ ( ( m e. ( F ` k ) /\ n e. ( F ` k ) ) /\ ( ( x ` k ) e. m /\ ( y ` k ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) -> ( m i^i n ) = (/) )
74		inelcm 4032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( z ` k ) e. m /\ ( z ` k ) e. n ) -> ( m i^i n ) =/= (/) )
75	74	necon2bi 2824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( m i^i n ) = (/) -> -. ( ( z ` k ) e. m /\ ( z ` k ) e. n ) )
76	73, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( k e. A /\ ( x ` k ) =/= ( y ` k ) ) ) /\ ( ( m e. ( F ` k ) /\ n e. ( F ` k ) ) /\ ( ( x ` k ) e. m /\ ( y ` k ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) -> -. ( ( z ` k ) e. m /\ ( z ` k ) e. n ) )
77	76	ralrimivw 2967	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( k e. A /\ ( x ` k ) =/= ( y ` k ) ) ) /\ ( ( m e. ( F ` k ) /\ n e. ( F ` k ) ) /\ ( ( x ` k ) e. m /\ ( y ` k ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) -> A. z e. U. ( Xt_ ` F ) -. ( ( z ` k ) e. m /\ ( z ` k ) e. n ) )
78		rabeq0 3957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( ( z ` k ) e. m /\ ( z ` k ) e. n ) } = (/) <-> A. z e. U. ( Xt_ ` F ) -. ( ( z ` k ) e. m /\ ( z ` k ) e. n ) )
79	77, 78	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( k e. A /\ ( x ` k ) =/= ( y ` k ) ) ) /\ ( ( m e. ( F ` k ) /\ n e. ( F ` k ) ) /\ ( ( x ` k ) e. m /\ ( y ` k ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) -> { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( ( z ` k ) e. m /\ ( z ` k ) e. n ) } = (/) )
80	72, 79	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( k e. A /\ ( x ` k ) =/= ( y ` k ) ) ) /\ ( ( m e. ( F ` k ) /\ n e. ( F ` k ) ) /\ ( ( x ` k ) e. m /\ ( y ` k ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) -> ( { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. m } i^i { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. n } ) = (/) )
81		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. m } -> ( x e. u <-> x e. { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. m } ) )
82		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. m } -> ( u i^i v ) = ( { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. m } i^i v ) )
83	82	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. m } -> ( ( u i^i v ) = (/) <-> ( { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. m } i^i v ) = (/) ) )
84	81, 83	3anbi13d 1401	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. m } -> ( ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) <-> ( x e. { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. m } /\ y e. v /\ ( { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. m } i^i v ) = (/) ) ) )
85		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. n } -> ( y e. v <-> y e. { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. n } ) )
86		ineq2 3808	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. n } -> ( { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. m } i^i v ) = ( { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. m } i^i { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. n } ) )
87	86	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. n } -> ( ( { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. m } i^i v ) = (/) <-> ( { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. m } i^i { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. n } ) = (/) ) )
88	85, 87	3anbi23d 1402	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. n } -> ( ( x e. { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. m } /\ y e. v /\ ( { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. m } i^i v ) = (/) ) <-> ( x e. { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. m } /\ y e. { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. n } /\ ( { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. m } i^i { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. n } ) = (/) ) ) )
89	84, 88	rspc2ev 3324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. m } e. ( Xt_ ` F ) /\ { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. n } e. ( Xt_ ` F ) /\ ( x e. { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. m } /\ y e. { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. n } /\ ( { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. m } i^i { z e. U. ( Xt_ ` F ) | ( z ` k ) e. n } ) = (/) ) ) -> E. u e. ( Xt_ ` F ) E. v e. ( Xt_ ` F ) ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) )
90	54, 59, 65, 71, 80, 89	syl113anc 1338	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( k e. A /\ ( x ` k ) =/= ( y ` k ) ) ) /\ ( ( m e. ( F ` k ) /\ n e. ( F ` k ) ) /\ ( ( x ` k ) e. m /\ ( y ` k ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) -> E. u e. ( Xt_ ` F ) E. v e. ( Xt_ ` F ) ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) )
91	90	expr 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( k e. A /\ ( x ` k ) =/= ( y ` k ) ) ) /\ ( m e. ( F ` k ) /\ n e. ( F ` k ) ) ) -> ( ( ( x ` k ) e. m /\ ( y ` k ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) -> E. u e. ( Xt_ ` F ) E. v e. ( Xt_ ` F ) ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
92	91	rexlimdvva 3038	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( k e. A /\ ( x ` k ) =/= ( y ` k ) ) ) -> ( E. m e. ( F ` k ) E. n e. ( F ` k ) ( ( x ` k ) e. m /\ ( y ` k ) e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) -> E. u e. ( Xt_ ` F ) E. v e. ( Xt_ ` F ) ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
93	42, 92	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ ( k e. A /\ ( x ` k ) =/= ( y ` k ) ) ) -> E. u e. ( Xt_ ` F ) E. v e. ( Xt_ ` F ) ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) )
94	93	expr 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ k e. A ) -> ( ( x ` k ) =/= ( y ` k ) -> E. u e. ( Xt_ ` F ) E. v e. ( Xt_ ` F ) ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
95	23, 94	syl5bir 233	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) /\ k e. A ) -> ( -. ( x ` k ) = ( y ` k ) -> E. u e. ( Xt_ ` F ) E. v e. ( Xt_ ` F ) ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
96	95	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) -> ( E. k e. A -. ( x ` k ) = ( y ` k ) -> E. u e. ( Xt_ ` F ) E. v e. ( Xt_ ` F ) ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
97	22, 96	syl5bir 233	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) -> ( -. A. k e. A ( x ` k ) = ( y ` k ) -> E. u e. ( Xt_ ` F ) E. v e. ( Xt_ ` F ) ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
98	21, 97	sylbid 230	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` F ) /\ y e. U. ( Xt_ ` F ) ) ) -> ( x =/= y -> E. u e. ( Xt_ ` F ) E. v e. ( Xt_ ` F ) ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
99	98	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) -> A. x e. U. ( Xt_ ` F ) A. y e. U. ( Xt_ ` F ) ( x =/= y -> E. u e. ( Xt_ ` F ) E. v e. ( Xt_ ` F ) ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) )
100	46	ishaus 21126	. 2 |- ( ( Xt_ ` F ) e. Haus <-> ( ( Xt_ ` F ) e. Top /\ A. x e. U. ( Xt_ ` F ) A. y e. U. ( Xt_ ` F ) ( x =/= y -> E. u e. ( Xt_ ` F ) E. v e. ( Xt_ ` F ) ( x e. u /\ y e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) )
101	6, 99, 100	sylanbrc 698	1 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Haus ) -> ( Xt_ ` F ) e. Haus )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   X_cixp 7908   Xt_cpt 16099   Topctop 20698   Cn ccn 21028   Hauscha 21112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-haus 21119

This theorem is referenced by:  poimirlem30  33439