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Theorem cnhaus 21158
Description: The preimage of a Hausdorff topology under an injective map is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnhaus |- ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> J e. Haus )
Proof of Theorem cnhaus
Dummy variables x y v u m n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop1 21044 . . 3 |- ( F e. ( J Cn K ) -> J e. Top )
213ad2ant3 1084 . 2 |- ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> J e. Top )
3 simpl1 1064 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) -> K e. Haus )
4 simpl3 1066 . . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
5 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
6 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- U. K = U. K
75, 6cnf 21050 . . . . . . . 8 |- ( F e. ( J Cn K ) -> F : U. J --> U. K )
84, 7syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) -> F : U. J --> U. K )
9 simprll 802 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) -> x e. U. J )
108, 9ffvelrnd 6360 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) -> ( F ` x ) e. U. K )
11 simprlr 803 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) -> y e. U. J )
128, 11ffvelrnd 6360 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) -> ( F ` y ) e. U. K )
13 simprr 796 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) -> x =/= y )
14 simpl2 1065 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) -> F : X -1-1-> Y )
15 fdm 6051 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F : U. J --> U. K -> dom F = U. J )
168, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) -> dom F = U. J )
17 f1dm 6105 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F : X -1-1-> Y -> dom F = X )
1814, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) -> dom F = X )
1916, 18eqtr3d 2658 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) -> U. J = X )
209, 19eleqtrd 2703 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) -> x e. X )
2111, 19eleqtrd 2703 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) -> y e. X )
22 f1fveq 6519 . . . . . . . . 9 |- ( ( F : X -1-1-> Y /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> x = y ) )
2314, 20, 21, 22syl12anc 1324 . . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> x = y ) )
2423necon3bid 2838 . . . . . . 7 |- ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) -> ( ( F ` x ) =/= ( F ` y ) <-> x =/= y ) )
2513, 24mpbird 247 . . . . . 6 |- ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) -> ( F ` x ) =/= ( F ` y ) )
266hausnei 21132 . . . . . 6 |- ( ( K e. Haus /\ ( ( F ` x ) e. U. K /\ ( F ` y ) e. U. K /\ ( F ` x ) =/= ( F ` y ) ) ) -> E. u e. K E. v e. K ( ( F ` x ) e. u /\ ( F ` y ) e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) )
273, 10, 12, 25, 26syl13anc 1328 . . . . 5 |- ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) -> E. u e. K E. v e. K ( ( F ` x ) e. u /\ ( F ` y ) e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) )
28 simpll3 1102 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) /\ ( ( u e. K /\ v e. K ) /\ ( ( F ` x ) e. u /\ ( F ` y ) e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
29 simprll 802 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) /\ ( ( u e. K /\ v e. K ) /\ ( ( F ` x ) e. u /\ ( F ` y ) e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) -> u e. K )
30 cnima 21069 . . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ u e. K ) -> ( `' F " u ) e. J )
3128, 29, 30syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) /\ ( ( u e. K /\ v e. K ) /\ ( ( F ` x ) e. u /\ ( F ` y ) e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) -> ( `' F " u ) e. J )
32 simprlr 803 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) /\ ( ( u e. K /\ v e. K ) /\ ( ( F ` x ) e. u /\ ( F ` y ) e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) -> v e. K )
33 cnima 21069 . . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ v e. K ) -> ( `' F " v ) e. J )
3428, 32, 33syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) /\ ( ( u e. K /\ v e. K ) /\ ( ( F ` x ) e. u /\ ( F ` y ) e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) -> ( `' F " v ) e. J )
359adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) /\ ( ( u e. K /\ v e. K ) /\ ( ( F ` x ) e. u /\ ( F ` y ) e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) -> x e. U. J )
36 simprr1 1109 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) /\ ( ( u e. K /\ v e. K ) /\ ( ( F ` x ) e. u /\ ( F ` y ) e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) -> ( F ` x ) e. u )
378adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) /\ ( ( u e. K /\ v e. K ) /\ ( ( F ` x ) e. u /\ ( F ` y ) e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) -> F : U. J --> U. K )
38 ffn 6045 . . . . . . . . . . 11 |- ( F : U. J --> U. K -> F Fn U. J )
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) /\ ( ( u e. K /\ v e. K ) /\ ( ( F ` x ) e. u /\ ( F ` y ) e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) -> F Fn U. J )
40 elpreima 6337 . . . . . . . . . 10 |- ( F Fn U. J -> ( x e. ( `' F " u ) <-> ( x e. U. J /\ ( F ` x ) e. u ) ) )
4139, 40syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) /\ ( ( u e. K /\ v e. K ) /\ ( ( F ` x ) e. u /\ ( F ` y ) e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) -> ( x e. ( `' F " u ) <-> ( x e. U. J /\ ( F ` x ) e. u ) ) )
4235, 36, 41mpbir2and 957 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) /\ ( ( u e. K /\ v e. K ) /\ ( ( F ` x ) e. u /\ ( F ` y ) e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) -> x e. ( `' F " u ) )
4311adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) /\ ( ( u e. K /\ v e. K ) /\ ( ( F ` x ) e. u /\ ( F ` y ) e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) -> y e. U. J )
44 simprr2 1110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) /\ ( ( u e. K /\ v e. K ) /\ ( ( F ` x ) e. u /\ ( F ` y ) e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) -> ( F ` y ) e. v )
45 elpreima 6337 . . . . . . . . . 10 |- ( F Fn U. J -> ( y e. ( `' F " v ) <-> ( y e. U. J /\ ( F ` y ) e. v ) ) )
4639, 45syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) /\ ( ( u e. K /\ v e. K ) /\ ( ( F ` x ) e. u /\ ( F ` y ) e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) -> ( y e. ( `' F " v ) <-> ( y e. U. J /\ ( F ` y ) e. v ) ) )
4743, 44, 46mpbir2and 957 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) /\ ( ( u e. K /\ v e. K ) /\ ( ( F ` x ) e. u /\ ( F ` y ) e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) -> y e. ( `' F " v ) )
48 ffun 6048 . . . . . . . . . 10 |- ( F : U. J --> U. K -> Fun F )
49 inpreima 6342 . . . . . . . . . 10 |- ( Fun F -> ( `' F " ( u i^i v ) ) = ( ( `' F " u ) i^i ( `' F " v ) ) )
5037, 48, 493syl 18 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) /\ ( ( u e. K /\ v e. K ) /\ ( ( F ` x ) e. u /\ ( F ` y ) e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) -> ( `' F " ( u i^i v ) ) = ( ( `' F " u ) i^i ( `' F " v ) ) )
51 simprr3 1111 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) /\ ( ( u e. K /\ v e. K ) /\ ( ( F ` x ) e. u /\ ( F ` y ) e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) -> ( u i^i v ) = (/) )
5251imaeq2d 5466 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) /\ ( ( u e. K /\ v e. K ) /\ ( ( F ` x ) e. u /\ ( F ` y ) e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) -> ( `' F " ( u i^i v ) ) = ( `' F " (/) ) )
53 ima0 5481 . . . . . . . . . 10 |- ( `' F " (/) ) = (/)
5452, 53syl6eq 2672 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) /\ ( ( u e. K /\ v e. K ) /\ ( ( F ` x ) e. u /\ ( F ` y ) e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) -> ( `' F " ( u i^i v ) ) = (/) )
5550, 54eqtr3d 2658 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) /\ ( ( u e. K /\ v e. K ) /\ ( ( F ` x ) e. u /\ ( F ` y ) e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) -> ( ( `' F " u ) i^i ( `' F " v ) ) = (/) )
56 eleq2 2690 . . . . . . . . . 10 |- ( m = ( `' F " u ) -> ( x e. m <-> x e. ( `' F " u ) ) )
57 ineq1 3807 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( `' F " u ) -> ( m i^i n ) = ( ( `' F " u ) i^i n ) )
5857eqeq1d 2624 . . . . . . . . . 10 |- ( m = ( `' F " u ) -> ( ( m i^i n ) = (/) <-> ( ( `' F " u ) i^i n ) = (/) ) )
5956, 583anbi13d 1401 . . . . . . . . 9 |- ( m = ( `' F " u ) -> ( ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) <-> ( x e. ( `' F " u ) /\ y e. n /\ ( ( `' F " u ) i^i n ) = (/) ) ) )
60 eleq2 2690 . . . . . . . . . 10 |- ( n = ( `' F " v ) -> ( y e. n <-> y e. ( `' F " v ) ) )
61 ineq2 3808 . . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( `' F " v ) -> ( ( `' F " u ) i^i n ) = ( ( `' F " u ) i^i ( `' F " v ) ) )
6261eqeq1d 2624 . . . . . . . . . 10 |- ( n = ( `' F " v ) -> ( ( ( `' F " u ) i^i n ) = (/) <-> ( ( `' F " u ) i^i ( `' F " v ) ) = (/) ) )
6360, 623anbi23d 1402 . . . . . . . . 9 |- ( n = ( `' F " v ) -> ( ( x e. ( `' F " u ) /\ y e. n /\ ( ( `' F " u ) i^i n ) = (/) ) <-> ( x e. ( `' F " u ) /\ y e. ( `' F " v ) /\ ( ( `' F " u ) i^i ( `' F " v ) ) = (/) ) ) )
6459, 63rspc2ev 3324 . . . . . . . 8 |- ( ( ( `' F " u ) e. J /\ ( `' F " v ) e. J /\ ( x e. ( `' F " u ) /\ y e. ( `' F " v ) /\ ( ( `' F " u ) i^i ( `' F " v ) ) = (/) ) ) -> E. m e. J E. n e. J ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) )
6531, 34, 42, 47, 55, 64syl113anc 1338 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) /\ ( ( u e. K /\ v e. K ) /\ ( ( F ` x ) e. u /\ ( F ` y ) e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) ) ) -> E. m e. J E. n e. J ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) )
6665expr 643 . . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) /\ ( u e. K /\ v e. K ) ) -> ( ( ( F ` x ) e. u /\ ( F ` y ) e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) -> E. m e. J E. n e. J ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) )
6766rexlimdvva 3038 . . . . 5 |- ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) -> ( E. u e. K E. v e. K ( ( F ` x ) e. u /\ ( F ` y ) e. v /\ ( u i^i v ) = (/) ) -> E. m e. J E. n e. J ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) )
6827, 67mpd 15 . . . 4 |- ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( ( x e. U. J /\ y e. U. J ) /\ x =/= y ) ) -> E. m e. J E. n e. J ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) )
6968expr 643 . . 3 |- ( ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. U. J /\ y e. U. J ) ) -> ( x =/= y -> E. m e. J E. n e. J ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) )
7069ralrimivva 2971 . 2 |- ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> A. x e. U. J A. y e. U. J ( x =/= y -> E. m e. J E. n e. J ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) )
715ishaus 21126 . 2 |- ( J e. Haus <-> ( J e. Top /\ A. x e. U. J A. y e. U. J ( x =/= y -> E. m e. J E. n e. J ( x e. m /\ y e. n /\ ( m i^i n ) = (/) ) ) ) )
722, 70, 71sylanbrc 698 1 |- ( ( K e. Haus /\ F : X -1-1-> Y /\ F e. ( J Cn K ) ) -> J e. Haus )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   (/)c0 3915   U.cuni 4436   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Topctop 20698   Cn ccn 21028   Hauscha 21112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-top 20699  df-topon 20716  df-cn 21031  df-haus 21119
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