Theorem iiner 7819

Description: The intersection of a nonempty family of equivalence relations is an equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iiner	|- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A R Er B ) -> |^|_ x e. A R Er B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   R( x)

Proof of Theorem iiner

Dummy variables v u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.2z 4060	. . . 4 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A R Er B ) -> E. x e. A R Er B )
2		errel 7751	. . . . . 6 |- ( R Er B -> Rel R )
3		df-rel 5121	. . . . . 6 |- ( Rel R <-> R C_ ( _V X. _V ) )
4	2, 3	sylib 208	. . . . 5 |- ( R Er B -> R C_ ( _V X. _V ) )
5	4	reximi 3011	. . . 4 |- ( E. x e. A R Er B -> E. x e. A R C_ ( _V X. _V ) )
6		iinss 4571	. . . 4 |- ( E. x e. A R C_ ( _V X. _V ) -> |^|_ x e. A R C_ ( _V X. _V ) )
7	1, 5, 6	3syl 18	. . 3 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A R Er B ) -> |^|_ x e. A R C_ ( _V X. _V ) )
8		df-rel 5121	. . 3 |- ( Rel |^|_ x e. A R <-> |^|_ x e. A R C_ ( _V X. _V ) )
9	7, 8	sylibr 224	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A R Er B ) -> Rel |^|_ x e. A R )
10		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( R Er B -> R Er B )
11	10	ersymb 7756	. . . . . . . 8 |- ( R Er B -> ( u R v <-> v R u ) )
12	11	biimpd 219	. . . . . . 7 |- ( R Er B -> ( u R v -> v R u ) )
13		df-br 4654	. . . . . . 7 |- ( u R v <-> <. u , v >. e. R )
14		df-br 4654	. . . . . . 7 |- ( v R u <-> <. v , u >. e. R )
15	12, 13, 14	3imtr3g 284	. . . . . 6 |- ( R Er B -> ( <. u , v >. e. R -> <. v , u >. e. R ) )
16	15	ral2imi 2947	. . . . 5 |- ( A. x e. A R Er B -> ( A. x e. A <. u , v >. e. R -> A. x e. A <. v , u >. e. R ) )
17	16	adantl 482	. . . 4 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A R Er B ) -> ( A. x e. A <. u , v >. e. R -> A. x e. A <. v , u >. e. R ) )
18		df-br 4654	. . . . 5 |- ( u |^|_ x e. A R v <-> <. u , v >. e. |^|_ x e. A R )
19		opex 4932	. . . . . 6 |- <. u , v >. e. _V
20		eliin 4525	. . . . . 6 |- ( <. u , v >. e. _V -> ( <. u , v >. e. |^|_ x e. A R <-> A. x e. A <. u , v >. e. R ) )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( <. u , v >. e. |^|_ x e. A R <-> A. x e. A <. u , v >. e. R )
22	18, 21	bitri 264	. . . 4 |- ( u |^|_ x e. A R v <-> A. x e. A <. u , v >. e. R )
23		df-br 4654	. . . . 5 |- ( v |^|_ x e. A R u <-> <. v , u >. e. |^|_ x e. A R )
24		opex 4932	. . . . . 6 |- <. v , u >. e. _V
25		eliin 4525	. . . . . 6 |- ( <. v , u >. e. _V -> ( <. v , u >. e. |^|_ x e. A R <-> A. x e. A <. v , u >. e. R ) )
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( <. v , u >. e. |^|_ x e. A R <-> A. x e. A <. v , u >. e. R )
27	23, 26	bitri 264	. . . 4 |- ( v |^|_ x e. A R u <-> A. x e. A <. v , u >. e. R )
28	17, 22, 27	3imtr4g 285	. . 3 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A R Er B ) -> ( u |^|_ x e. A R v -> v |^|_ x e. A R u ) )
29	28	imp 445	. 2 |- ( ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A R Er B ) /\ u |^|_ x e. A R v ) -> v |^|_ x e. A R u )
30		r19.26 3064	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( <. u , v >. e. R /\ <. v , w >. e. R ) <-> ( A. x e. A <. u , v >. e. R /\ A. x e. A <. v , w >. e. R ) )
31	10	ertr 7757	. . . . . . . 8 |- ( R Er B -> ( ( u R v /\ v R w ) -> u R w ) )
32		df-br 4654	. . . . . . . . 9 |- ( v R w <-> <. v , w >. e. R )
33	13, 32	anbi12i 733	. . . . . . . 8 |- ( ( u R v /\ v R w ) <-> ( <. u , v >. e. R /\ <. v , w >. e. R ) )
34		df-br 4654	. . . . . . . 8 |- ( u R w <-> <. u , w >. e. R )
35	31, 33, 34	3imtr3g 284	. . . . . . 7 |- ( R Er B -> ( ( <. u , v >. e. R /\ <. v , w >. e. R ) -> <. u , w >. e. R ) )
36	35	ral2imi 2947	. . . . . 6 |- ( A. x e. A R Er B -> ( A. x e. A ( <. u , v >. e. R /\ <. v , w >. e. R ) -> A. x e. A <. u , w >. e. R ) )
37	36	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A R Er B ) -> ( A. x e. A ( <. u , v >. e. R /\ <. v , w >. e. R ) -> A. x e. A <. u , w >. e. R ) )
38	30, 37	syl5bir 233	. . . 4 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A R Er B ) -> ( ( A. x e. A <. u , v >. e. R /\ A. x e. A <. v , w >. e. R ) -> A. x e. A <. u , w >. e. R ) )
39		df-br 4654	. . . . . 6 |- ( v |^|_ x e. A R w <-> <. v , w >. e. |^|_ x e. A R )
40		opex 4932	. . . . . . 7 |- <. v , w >. e. _V
41		eliin 4525	. . . . . . 7 |- ( <. v , w >. e. _V -> ( <. v , w >. e. |^|_ x e. A R <-> A. x e. A <. v , w >. e. R ) )
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( <. v , w >. e. |^|_ x e. A R <-> A. x e. A <. v , w >. e. R )
43	39, 42	bitri 264	. . . . 5 |- ( v |^|_ x e. A R w <-> A. x e. A <. v , w >. e. R )
44	22, 43	anbi12i 733	. . . 4 |- ( ( u |^|_ x e. A R v /\ v |^|_ x e. A R w ) <-> ( A. x e. A <. u , v >. e. R /\ A. x e. A <. v , w >. e. R ) )
45		df-br 4654	. . . . 5 |- ( u |^|_ x e. A R w <-> <. u , w >. e. |^|_ x e. A R )
46		opex 4932	. . . . . 6 |- <. u , w >. e. _V
47		eliin 4525	. . . . . 6 |- ( <. u , w >. e. _V -> ( <. u , w >. e. |^|_ x e. A R <-> A. x e. A <. u , w >. e. R ) )
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( <. u , w >. e. |^|_ x e. A R <-> A. x e. A <. u , w >. e. R )
49	45, 48	bitri 264	. . . 4 |- ( u |^|_ x e. A R w <-> A. x e. A <. u , w >. e. R )
50	38, 44, 49	3imtr4g 285	. . 3 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A R Er B ) -> ( ( u |^|_ x e. A R v /\ v |^|_ x e. A R w ) -> u |^|_ x e. A R w ) )
51	50	imp 445	. 2 |- ( ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A R Er B ) /\ ( u |^|_ x e. A R v /\ v |^|_ x e. A R w ) ) -> u |^|_ x e. A R w )
52		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R Er B /\ u e. B ) -> R Er B )
53		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R Er B /\ u e. B ) -> u e. B )
54	52, 53	erref 7762	. . . . . . . . 9 |- ( ( R Er B /\ u e. B ) -> u R u )
55		df-br 4654	. . . . . . . . 9 |- ( u R u <-> <. u , u >. e. R )
56	54, 55	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( R Er B /\ u e. B ) -> <. u , u >. e. R )
57	56	expcom 451	. . . . . . 7 |- ( u e. B -> ( R Er B -> <. u , u >. e. R ) )
58	57	ralimdv 2963	. . . . . 6 |- ( u e. B -> ( A. x e. A R Er B -> A. x e. A <. u , u >. e. R ) )
59	58	com12 32	. . . . 5 |- ( A. x e. A R Er B -> ( u e. B -> A. x e. A <. u , u >. e. R ) )
60	59	adantl 482	. . . 4 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A R Er B ) -> ( u e. B -> A. x e. A <. u , u >. e. R ) )
61		r19.26 3064	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( R Er B /\ <. u , u >. e. R ) <-> ( A. x e. A R Er B /\ A. x e. A <. u , u >. e. R ) )
62		r19.2z 4060	. . . . . . . 8 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A ( R Er B /\ <. u , u >. e. R ) ) -> E. x e. A ( R Er B /\ <. u , u >. e. R ) )
63		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- u e. _V
64	63, 63	opeldm 5328	. . . . . . . . . 10 |- ( <. u , u >. e. R -> u e. dom R )
65		erdm 7752	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R Er B -> dom R = B )
66	65	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( R Er B -> ( u e. dom R <-> u e. B ) )
67	66	biimpa 501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R Er B /\ u e. dom R ) -> u e. B )
68	64, 67	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( R Er B /\ <. u , u >. e. R ) -> u e. B )
69	68	rexlimivw 3029	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. A ( R Er B /\ <. u , u >. e. R ) -> u e. B )
70	62, 69	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A ( R Er B /\ <. u , u >. e. R ) ) -> u e. B )
71	70	ex 450	. . . . . 6 |- ( A =/= (/) -> ( A. x e. A ( R Er B /\ <. u , u >. e. R ) -> u e. B ) )
72	61, 71	syl5bir 233	. . . . 5 |- ( A =/= (/) -> ( ( A. x e. A R Er B /\ A. x e. A <. u , u >. e. R ) -> u e. B ) )
73	72	expdimp 453	. . . 4 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A R Er B ) -> ( A. x e. A <. u , u >. e. R -> u e. B ) )
74	60, 73	impbid 202	. . 3 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A R Er B ) -> ( u e. B <-> A. x e. A <. u , u >. e. R ) )
75		df-br 4654	. . . 4 |- ( u |^|_ x e. A R u <-> <. u , u >. e. |^|_ x e. A R )
76		opex 4932	. . . . 5 |- <. u , u >. e. _V
77		eliin 4525	. . . . 5 |- ( <. u , u >. e. _V -> ( <. u , u >. e. |^|_ x e. A R <-> A. x e. A <. u , u >. e. R ) )
78	76, 77	ax-mp 5	. . . 4 |- ( <. u , u >. e. |^|_ x e. A R <-> A. x e. A <. u , u >. e. R )
79	75, 78	bitri 264	. . 3 |- ( u |^|_ x e. A R u <-> A. x e. A <. u , u >. e. R )
80	74, 79	syl6bbr 278	. 2 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A R Er B ) -> ( u e. B <-> u |^|_ x e. A R u ) )
81	9, 29, 51, 80	iserd 7768	1 |- ( ( A =/= (/) /\ A. x e. A R Er B ) -> |^|_ x e. A R Er B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   <.cop 4183   |^|_ciin 4521   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   dom cdm 5114   Rel wrel 5119   Er wer 7739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-er 7742

This theorem is referenced by:  riiner  7820  efger  18131