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Theorem imasaddfnlem 16188

Description: The image structure operation is a function if the original operation is compatible with the function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
imasaddf.f
imasaddf.e	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
imasaddflem.a

**Assertion**
Ref	Expression
imasaddfnlem

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem imasaddfnlem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 4932	. . . . . . . . 9
2		fvex 6201	. . . . . . . . 9
3	1, 2	relsnop 5224	. . . . . . . 8
4	3	rgenw 2924	. . . . . . 7
5		reliun 5239	. . . . . . 7
6	4, 5	mpbir 221	. . . . . 6
7	6	rgenw 2924	. . . . 5
8		reliun 5239	. . . . 5
9	7, 8	mpbir 221	. . . 4
10		imasaddflem.a	. . . . 5
11	10	releqd 5203	. . . 4
12	9, 11	mpbiri 248	. . 3
13		imasaddf.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14		fof 6115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
16		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
17		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
18	16, 17	anim12dan 882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
19	15, 18	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
20		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
22		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
23	21, 2, 22	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
24	23	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
25	24	anassrs 680	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
26	25	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 $/\$
27		iunss 4561	. . . . . . . . . . 11
28	26, 27	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 $/\$
29	28	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9
30		iunss 4561	. . . . . . . . 9
31	29, 30	sylibr 224	. . . . . . . 8
32	10, 31	eqsstrd 3639	. . . . . . 7
33		dmss 5323	. . . . . . 7
34	32, 33	syl 17	. . . . . 6
35		vn0 3924	. . . . . . 7
36		dmxp 5344	. . . . . . 7
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . 6
38	34, 37	syl6sseq 3651	. . . . 5
39		forn 6118	. . . . . . 7
40	13, 39	syl 17	. . . . . 6
41	40	sqxpeqd 5141	. . . . 5
42	38, 41	sseqtr4d 3642	. . . 4
43	10	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
45		df-br 4654	. . . . . . . . . . . 12
46		eliun 4524	. . . . . . . . . . . . 13
47		eliun 4524	. . . . . . . . . . . . . 14
48	47	rexbii 3041	. . . . . . . . . . . . 13
49	46, 48	bitr2i 265	. . . . . . . . . . . 12
50	44, 45, 49	3bitr4g 303	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
51		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . . 15
52	51	elsn 4192	. . . . . . . . . . . . . 14
53		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . . . 16
54		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16
55	53, 54	opth 4945	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
56		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
57		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
58	56, 57	opth 4945	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
59		imasaddf.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	58, 59	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
62	61	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
63	60, 62	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	63	impd 447	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	55, 64	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	52, 65	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	66	3expa 1265	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	67	rexlimdvva 3038	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
69	50, 68	sylbid 230	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
70	69	alrimiv 1855	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
71		mo2icl 3385	. . . . . . . . 9
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
73	72	ralrimivva 2971	. . . . . . 7
74		fofn 6117	. . . . . . . . . 10
75	13, 74	syl 17	. . . . . . . . 9
76		opeq2 4403	. . . . . . . . . . . 12
77	76	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11
78	77	mobidv 2491	. . . . . . . . . 10
79	78	ralrn 6362	. . . . . . . . 9
80	75, 79	syl 17	. . . . . . . 8
81	80	ralbidv 2986	. . . . . . 7
82	73, 81	mpbird 247	. . . . . 6
83		opeq1 4402	. . . . . . . . . . 11
84	83	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10
85	84	mobidv 2491	. . . . . . . . 9
86	85	ralbidv 2986	. . . . . . . 8
87	86	ralrn 6362	. . . . . . 7
88	75, 87	syl 17	. . . . . 6
89	82, 88	mpbird 247	. . . . 5
90		breq1 4656	. . . . . . 7
91	90	mobidv 2491	. . . . . 6
92	91	ralxp 5263	. . . . 5
93	89, 92	sylibr 224	. . . 4
94		ssralv 3666	. . . 4
95	42, 93, 94	sylc 65	. . 3
96		dffun7 5915	. . 3 $/\$
97	12, 95, 96	sylanbrc 698	. 2
98		eqimss2 3658	. . . . . . . . . . 11
99	10, 98	syl 17	. . . . . . . . . 10
100		iunss 4561	. . . . . . . . . 10
101	99, 100	sylib 208	. . . . . . . . 9
102		iunss 4561	. . . . . . . . . . 11
103		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . 14
104	103	snss 4316	. . . . . . . . . . . . 13
105	1, 2	opeldm 5328	. . . . . . . . . . . . 13
106	104, 105	sylbir 225	. . . . . . . . . . . 12
107	106	ralimi 2952	. . . . . . . . . . 11
108	102, 107	sylbi 207	. . . . . . . . . 10
109	108	ralimi 2952	. . . . . . . . 9
110	101, 109	syl 17	. . . . . . . 8
111		opeq2 4403	. . . . . . . . . . . 12
112	111	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11
113	112	ralrn 6362	. . . . . . . . . 10
114	75, 113	syl 17	. . . . . . . . 9
115	114	ralbidv 2986	. . . . . . . 8
116	110, 115	mpbird 247	. . . . . . 7
117		opeq1 4402	. . . . . . . . . . 11
118	117	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10
119	118	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9
120	119	ralrn 6362	. . . . . . . 8
121	75, 120	syl 17	. . . . . . 7
122	116, 121	mpbird 247	. . . . . 6
123		eleq1 2689	. . . . . . 7
124	123	ralxp 5263	. . . . . 6
125	122, 124	sylibr 224	. . . . 5
126		dfss3 3592	. . . . 5
127	125, 126	sylibr 224	. . . 4
128	41, 127	eqsstr3d 3640	. . 3
129	38, 128	eqssd 3620	. 2
130		df-fn 5891	. 2 $/\$
131	97, 129, 130	sylanbrc 698	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wal 1481

wceq 1483

wcel 1990

wmo 2471

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

cvv 3200

wss 3574

c0 3915

csn 4177

cop 4183

ciun 4520 class class class wbr 4653

cxp 5112

cdm 5114

crn 5115

wrel 5119

wfun 5882

wfn 5883

wf 5884

wfo 5886

cfv 5888 (class class class)co 6650

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pr 4906

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-fo 5894 df-fv 5896

This theorem is referenced by: imasaddvallem 16189 imasaddflem 16190 imasaddfn 16191 imasmulfn 16194

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