Theorem imasncld 21494

Description: If a relation graph is closed, then an image set of a singleton is also closed. Corollary of proposition 4 of [BourbakiTop1] p. I.26. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
imasnopn.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
imasncld	|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) e. ( Clsd ` K ) )

Proof of Theorem imasncld

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . . 4 |- F/ y ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) )
2		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ y ( R " { A } )
3		nfrab1 3122	. . . 4 |- F/_ y { y e. U. K | <. A , y >. e. R }
4		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) )
5		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. ( J tX K ) = U. ( J tX K )
6	5	cldss 20833	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) -> R C_ U. ( J tX K ) )
7	4, 6	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> R C_ U. ( J tX K ) )
8		imasnopn.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = U. J
9		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. K = U. K
10	8, 9	txuni 21395	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( X X. U. K ) = U. ( J tX K ) )
11	10	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( X X. U. K ) = U. ( J tX K ) )
12	7, 11	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> R C_ ( X X. U. K ) )
13		imass1 5500	. . . . . . . . . 10 |- ( R C_ ( X X. U. K ) -> ( R " { A } ) C_ ( ( X X. U. K ) " { A } ) )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) C_ ( ( X X. U. K ) " { A } ) )
15		xpimasn 5579	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. X -> ( ( X X. U. K ) " { A } ) = U. K )
16	15	ad2antll 765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( ( X X. U. K ) " { A } ) = U. K )
17	14, 16	sseqtrd 3641	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) C_ U. K )
18	17	sseld 3602	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) -> y e. U. K ) )
19	18	pm4.71rd 667	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> ( y e. U. K /\ y e. ( R " { A } ) ) ) )
20		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
21		elimasng 5491	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. X /\ y e. _V ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> <. A , y >. e. R ) )
22	20, 21	mpan2 707	. . . . . . . 8 |- ( A e. X -> ( y e. ( R " { A } ) <-> <. A , y >. e. R ) )
23	22	ad2antll 765	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> <. A , y >. e. R ) )
24	23	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( ( y e. U. K /\ y e. ( R " { A } ) ) <-> ( y e. U. K /\ <. A , y >. e. R ) ) )
25	19, 24	bitrd 268	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> ( y e. U. K /\ <. A , y >. e. R ) ) )
26		rabid 3116	. . . . 5 |- ( y e. { y e. U. K | <. A , y >. e. R } <-> ( y e. U. K /\ <. A , y >. e. R ) )
27	25, 26	syl6bbr 278	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> y e. { y e. U. K | <. A , y >. e. R } ) )
28	1, 2, 3, 27	eqrd 3622	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) = { y e. U. K | <. A , y >. e. R } )
29		eqid 2622	. . . 4 |- ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) = ( y e. U. K |-> <. A , y >. )
30	29	mptpreima 5628	. . 3 |- ( `' ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) " R ) = { y e. U. K | <. A , y >. e. R }
31	28, 30	syl6eqr 2674	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) = ( `' ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) " R ) )
32	9	toptopon 20722	. . . . . 6 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
33	32	biimpi 206	. . . . 5 |- ( K e. Top -> K e. (TopOn ` U. K ) )
34	33	ad2antlr 763	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
35	8	toptopon 20722	. . . . . . 7 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
36	35	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> J e. (TopOn ` X ) )
37	36	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
38		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> A e. X )
39	34, 37, 38	cnmptc 21465	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. U. K |-> A ) e. ( K Cn J ) )
40	34	cnmptid 21464	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. U. K |-> y ) e. ( K Cn K ) )
41	34, 39, 40	cnmpt1t 21468	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) e. ( K Cn ( J tX K ) ) )
42		cnclima 21072	. . 3 |- ( ( ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) e. ( K Cn ( J tX K ) ) /\ R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) ) -> ( `' ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) " R ) e. ( Clsd ` K ) )
43	41, 4, 42	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( `' ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) " R ) e. ( Clsd ` K ) )
44	31, 43	eqeltrd 2701	1 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( Clsd ` ( J tX K ) ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) e. ( Clsd ` K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   "cima 5117   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Clsdccld 20820   Cn ccn 21028   tX ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365

This theorem is referenced by: (None)