Theorem imasncls 21495

Description: If a relation graph is closed, then an image set of a singleton is also closed. Corollary of proposition 4 of [BourbakiTop1] p. I.26. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasnopn.1	|- X = U. J
imasnopn.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
imasncls	|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( ( cls ` K ) ` ( R " { A } ) ) C_ ( ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) " { A } ) )

Proof of Theorem imasncls

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasnopn.2	. . . . . . 7 |- Y = U. K
2	1	toptopon 20722	. . . . . 6 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
3	2	biimpi 206	. . . . 5 |- ( K e. Top -> K e. (TopOn ` Y ) )
4	3	ad2antlr 763	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
5		imasnopn.1	. . . . . . . 8 |- X = U. J
6	5	toptopon 20722	. . . . . . 7 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
7	6	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> J e. (TopOn ` X ) )
8	7	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
9		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> A e. X )
10	4, 8, 9	cnmptc 21465	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. Y |-> A ) e. ( K Cn J ) )
11	4	cnmptid 21464	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. Y |-> y ) e. ( K Cn K ) )
12	4, 10, 11	cnmpt1t 21468	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. Y |-> <. A , y >. ) e. ( K Cn ( J tX K ) ) )
13		simprl 794	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> R C_ ( X X. Y ) )
14	5, 1	txuni 21395	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( X X. Y ) = U. ( J tX K ) )
15	14	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( X X. Y ) = U. ( J tX K ) )
16	13, 15	sseqtrd 3641	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> R C_ U. ( J tX K ) )
17		eqid 2622	. . . 4 |- U. ( J tX K ) = U. ( J tX K )
18	17	cncls2i 21074	. . 3 |- ( ( ( y e. Y |-> <. A , y >. ) e. ( K Cn ( J tX K ) ) /\ R C_ U. ( J tX K ) ) -> ( ( cls ` K ) ` ( `' ( y e. Y |-> <. A , y >. ) " R ) ) C_ ( `' ( y e. Y |-> <. A , y >. ) " ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) ) )
19	12, 16, 18	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( ( cls ` K ) ` ( `' ( y e. Y |-> <. A , y >. ) " R ) ) C_ ( `' ( y e. Y |-> <. A , y >. ) " ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) ) )
20		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ y ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) )
21		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ y ( R " { A } )
22		nfrab1 3122	. . . . 5 |- F/_ y { y e. Y | <. A , y >. e. R }
23		imass1 5500	. . . . . . . . . . 11 |- ( R C_ ( X X. Y ) -> ( R " { A } ) C_ ( ( X X. Y ) " { A } ) )
24	13, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) C_ ( ( X X. Y ) " { A } ) )
25		xpimasn 5579	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. X -> ( ( X X. Y ) " { A } ) = Y )
26	25	ad2antll 765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( ( X X. Y ) " { A } ) = Y )
27	24, 26	sseqtrd 3641	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) C_ Y )
28	27	sseld 3602	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) -> y e. Y ) )
29	28	pm4.71rd 667	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> ( y e. Y /\ y e. ( R " { A } ) ) ) )
30		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
31		elimasng 5491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. X /\ y e. _V ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> <. A , y >. e. R ) )
32	30, 31	mpan2 707	. . . . . . . . 9 |- ( A e. X -> ( y e. ( R " { A } ) <-> <. A , y >. e. R ) )
33	32	ad2antll 765	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> <. A , y >. e. R ) )
34	33	anbi2d 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( ( y e. Y /\ y e. ( R " { A } ) ) <-> ( y e. Y /\ <. A , y >. e. R ) ) )
35	29, 34	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> ( y e. Y /\ <. A , y >. e. R ) ) )
36		rabid 3116	. . . . . 6 |- ( y e. { y e. Y | <. A , y >. e. R } <-> ( y e. Y /\ <. A , y >. e. R ) )
37	35, 36	syl6bbr 278	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> y e. { y e. Y | <. A , y >. e. R } ) )
38	20, 21, 22, 37	eqrd 3622	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) = { y e. Y | <. A , y >. e. R } )
39		eqid 2622	. . . . 5 |- ( y e. Y |-> <. A , y >. ) = ( y e. Y |-> <. A , y >. )
40	39	mptpreima 5628	. . . 4 |- ( `' ( y e. Y |-> <. A , y >. ) " R ) = { y e. Y | <. A , y >. e. R }
41	38, 40	syl6eqr 2674	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) = ( `' ( y e. Y |-> <. A , y >. ) " R ) )
42	41	fveq2d 6195	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( ( cls ` K ) ` ( R " { A } ) ) = ( ( cls ` K ) ` ( `' ( y e. Y |-> <. A , y >. ) " R ) ) )
43		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ y ( ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) " { A } )
44		nfrab1 3122	. . . 4 |- F/_ y { y e. Y | <. A , y >. e. ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) }
45		txtop 21372	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J tX K ) e. Top )
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( J tX K ) e. Top )
47	17	clsss3 20863	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J tX K ) e. Top /\ R C_ U. ( J tX K ) ) -> ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) C_ U. ( J tX K ) )
48	46, 16, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) C_ U. ( J tX K ) )
49	48, 15	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) C_ ( X X. Y ) )
50		imass1 5500	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) C_ ( X X. Y ) -> ( ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) " { A } ) C_ ( ( X X. Y ) " { A } ) )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) " { A } ) C_ ( ( X X. Y ) " { A } ) )
52	51, 26	sseqtrd 3641	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) " { A } ) C_ Y )
53	52	sseld 3602	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) " { A } ) -> y e. Y ) )
54	53	pm4.71rd 667	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) " { A } ) <-> ( y e. Y /\ y e. ( ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) " { A } ) ) ) )
55		elimasng 5491	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. X /\ y e. _V ) -> ( y e. ( ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) " { A } ) <-> <. A , y >. e. ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) ) )
56	30, 55	mpan2 707	. . . . . . . 8 |- ( A e. X -> ( y e. ( ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) " { A } ) <-> <. A , y >. e. ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) ) )
57	56	ad2antll 765	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) " { A } ) <-> <. A , y >. e. ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) ) )
58	57	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( ( y e. Y /\ y e. ( ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) " { A } ) ) <-> ( y e. Y /\ <. A , y >. e. ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) ) ) )
59	54, 58	bitrd 268	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) " { A } ) <-> ( y e. Y /\ <. A , y >. e. ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) ) ) )
60		rabid 3116	. . . . 5 |- ( y e. { y e. Y | <. A , y >. e. ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) } <-> ( y e. Y /\ <. A , y >. e. ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) ) )
61	59, 60	syl6bbr 278	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) " { A } ) <-> y e. { y e. Y | <. A , y >. e. ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) } ) )
62	20, 43, 44, 61	eqrd 3622	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) " { A } ) = { y e. Y | <. A , y >. e. ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) } )
63	39	mptpreima 5628	. . 3 |- ( `' ( y e. Y |-> <. A , y >. ) " ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) ) = { y e. Y | <. A , y >. e. ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) }
64	62, 63	syl6eqr 2674	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) " { A } ) = ( `' ( y e. Y |-> <. A , y >. ) " ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) ) )
65	19, 42, 64	3sstr4d 3648	1 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R C_ ( X X. Y ) /\ A e. X ) ) -> ( ( cls ` K ) ` ( R " { A } ) ) C_ ( ( ( cls ` ( J tX K ) ) ` R ) " { A } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   "cima 5117   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   clsccl 20822   Cn ccn 21028   tX ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cls 20825  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365

This theorem is referenced by:  utopreg  22056