Theorem cnmpt1t 21468

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptid.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt11.a	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) )
cnmpt1t.b	|- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt1t	|- ( ph -> ( x e. X |-> <. A , B >. ) e. ( J Cn ( K tX L ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, J   x, X   x, K   x, L

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)

Proof of Theorem cnmpt1t

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnmptid.j	. . . 4 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		toponuni 20719	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
3		mpteq1 4737	. . . 4 |- ( X = U. J -> ( x e. X |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) = ( x e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) )
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) = ( x e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) )
5		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
6		cnmpt11.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) )
7		cntop2 21045	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) -> K e. Top )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. Top )
9		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- U. K = U. K
10	9	toptopon 20722	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
11	8, 10	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. (TopOn ` U. K ) )
12		cnf2 21053	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` U. K ) /\ ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> U. K )
13	1, 11, 6, 12	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> U. K )
14		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
15	14	fmpt 6381	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A e. U. K <-> ( x e. X |-> A ) : X --> U. K )
16	13, 15	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. X A e. U. K )
17	16	r19.21bi 2932	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. U. K )
18	14	fvmpt2 6291	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ A e. U. K ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
19	5, 17, 18	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
20		cnmpt1t.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) )
21		cntop2 21045	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) -> L e. Top )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> L e. Top )
23		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- U. L = U. L
24	23	toptopon 20722	. . . . . . . . . 10 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
25	22, 24	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> L e. (TopOn ` U. L ) )
26		cnf2 21053	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> U. L )
27	1, 25, 20, 26	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. X |-> B ) : X --> U. L )
28		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B )
29	28	fmpt 6381	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X B e. U. L <-> ( x e. X |-> B ) : X --> U. L )
30	27, 29	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. X B e. U. L )
31	30	r19.21bi 2932	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> B e. U. L )
32	28	fvmpt2 6291	. . . . . 6 |- ( ( x e. X /\ B e. U. L ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` x ) = B )
33	5, 31, 32	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> B ) ` x ) = B )
34	19, 33	opeq12d 4410	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. = <. A , B >. )
35	34	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) = ( x e. X |-> <. A , B >. ) )
36	4, 35	eqtr3d 2658	. 2 |- ( ph -> ( x e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) = ( x e. X |-> <. A , B >. ) )
37		eqid 2622	. . . 4 |- U. J = U. J
38		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ y <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >.
39		nffvmpt1 6199	. . . . . 6 |- F/_ x ( ( x e. X |-> A ) ` y )
40		nffvmpt1 6199	. . . . . 6 |- F/_ x ( ( x e. X |-> B ) ` y )
41	39, 40	nfop 4418	. . . . 5 |- F/_ x <. ( ( x e. X |-> A ) ` y ) , ( ( x e. X |-> B ) ` y ) >.
42		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = ( ( x e. X |-> A ) ` y ) )
43		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x e. X |-> B ) ` x ) = ( ( x e. X |-> B ) ` y ) )
44	42, 43	opeq12d 4410	. . . . 5 |- ( x = y -> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. = <. ( ( x e. X |-> A ) ` y ) , ( ( x e. X |-> B ) ` y ) >. )
45	38, 41, 44	cbvmpt 4749	. . . 4 |- ( x e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) = ( y e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` y ) , ( ( x e. X |-> B ) ` y ) >. )
46	37, 45	txcnmpt 21427	. . 3 |- ( ( ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) /\ ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn L ) ) -> ( x e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) e. ( J Cn ( K tX L ) ) )
47	6, 20, 46	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( x e. U. J |-> <. ( ( x e. X |-> A ) ` x ) , ( ( x e. X |-> B ) ` x ) >. ) e. ( J Cn ( K tX L ) ) )
48	36, 47	eqeltrrd 2702	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> <. A , B >. ) e. ( J Cn ( K tX L ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   <.cop 4183   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   tX ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-tx 21365

This theorem is referenced by:  cnmpt12f  21469  xkoinjcn  21490  txconn  21492  imasnopn  21493  imasncld  21494  imasncls  21495  ptunhmeo  21611  xkohmeo  21618  cnrehmeo  22752