Theorem infcllem 8393

Description: Lemma for infcl 8394, inflb 8395, infglb 8396, etc. (Contributed by AV, 3-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
infcl.1	|- ( ph -> R Or A )
infcl.2	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
infcllem	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, y, z   x, R, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem infcllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infcl.2	. 2 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
2		vex 3203	. . . . . . . 8 |- x e. _V
3		vex 3203	. . . . . . . 8 |- y e. _V
4	2, 3	brcnv 5305	. . . . . . 7 |- ( x `' R y <-> y R x )
5	4	bicomi 214	. . . . . 6 |- ( y R x <-> x `' R y )
6	5	notbii 310	. . . . 5 |- ( -. y R x <-> -. x `' R y )
7	6	ralbii 2980	. . . 4 |- ( A. y e. B -. y R x <-> A. y e. B -. x `' R y )
8	3, 2	brcnv 5305	. . . . . . 7 |- ( y `' R x <-> x R y )
9	8	bicomi 214	. . . . . 6 |- ( x R y <-> y `' R x )
10		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
11	3, 10	brcnv 5305	. . . . . . . 8 |- ( y `' R z <-> z R y )
12	11	bicomi 214	. . . . . . 7 |- ( z R y <-> y `' R z )
13	12	rexbii 3041	. . . . . 6 |- ( E. z e. B z R y <-> E. z e. B y `' R z )
14	9, 13	imbi12i 340	. . . . 5 |- ( ( x R y -> E. z e. B z R y ) <-> ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) )
15	14	ralbii 2980	. . . 4 |- ( A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) <-> A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) )
16	7, 15	anbi12i 733	. . 3 |- ( ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) <-> ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) )
17	16	rexbii 3041	. 2 |- ( E. x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) <-> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) )
18	1, 17	sylib 208	1 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   Or wor 5034   `'ccnv 5113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-cnv 5122

This theorem is referenced by:  infcl  8394  inflb  8395  infglb  8396  infglbb  8397  infiso  8413