Theorem infval 8392

Description: Alternate expression for the infimum. (Contributed by AV, 2-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
infexd.1	|- ( ph -> R Or A )

Assertion

Ref	Expression
infval	|- ( ph -> inf ( B , A , R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   y, B, z   y, R, z   x, A   x, B   x, R   ph, x, y, z

Proof of Theorem infval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 8349	. 2 |- inf ( B , A , R ) = sup ( B , A , `' R )
2		infexd.1	. . . . 5 |- ( ph -> R Or A )
3		cnvso 5674	. . . . 5 |- ( R Or A <-> `' R Or A )
4	2, 3	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> `' R Or A )
5	4	supval2 8361	. . 3 |- ( ph -> sup ( B , A , `' R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) ) )
6		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
7		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
8	6, 7	brcnv 5305	. . . . . . . 8 |- ( x `' R y <-> y R x )
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x `' R y <-> y R x ) )
10	9	notbid 308	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -. x `' R y <-> -. y R x ) )
11	10	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. B -. x `' R y <-> A. y e. B -. y R x ) )
12	7, 6	brcnv 5305	. . . . . . . 8 |- ( y `' R x <-> x R y )
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y `' R x <-> x R y ) )
14		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
15	7, 14	brcnv 5305	. . . . . . . . 9 |- ( y `' R z <-> z R y )
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( y `' R z <-> z R y ) )
17	16	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. z e. B y `' R z <-> E. z e. B z R y ) )
18	13, 17	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) <-> ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
19	18	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) <-> A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) )
20	11, 19	anbi12d 747	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) <-> ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
21	20	riotabidv 6613	. . 3 |- ( ph -> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. B y `' R z ) ) ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
22	5, 21	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> sup ( B , A , `' R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )
23	1, 22	syl5eq 2668	1 |- ( ph -> inf ( B , A , R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. B z R y ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   Or wor 5034   `'ccnv 5113   iota_crio 6610   supcsup 8346  infcinf 8347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-po 5035  df-so 5036  df-cnv 5122  df-iota 5851  df-riota 6611  df-sup 8348  df-inf 8349

This theorem is referenced by: (None)