Theorem infiso 8413

Description: Image of an infimum under an isomorphism. (Contributed by AV, 4-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
infiso.1	|- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
infiso.2	|- ( ph -> C C_ A )
infiso.3	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. C z R y ) ) )
infiso.4	|- ( ph -> R Or A )

Assertion

Ref	Expression
infiso	|- ( ph -> inf ( ( F " C ) , B , S ) = ( F ` inf ( C , A , R ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, y, z   x, C, y, z   x, F, y, z   x, R, y, z   x, S, y, z   ph, x, y, z

Proof of Theorem infiso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infiso.1	. . . 4 |- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
2		isocnv2 6581	. . . 4 |- ( F Isom R , S ( A , B ) <-> F Isom `' R , `' S ( A , B ) )
3	1, 2	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> F Isom `' R , `' S ( A , B ) )
4		infiso.2	. . 3 |- ( ph -> C C_ A )
5		infiso.4	. . . 4 |- ( ph -> R Or A )
6		infiso.3	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. y R x /\ A. y e. A ( x R y -> E. z e. C z R y ) ) )
7	5, 6	infcllem 8393	. . 3 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. x `' R y /\ A. y e. A ( y `' R x -> E. z e. C y `' R z ) ) )
8		cnvso 5674	. . . 4 |- ( R Or A <-> `' R Or A )
9	5, 8	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> `' R Or A )
10	3, 4, 7, 9	supiso 8381	. 2 |- ( ph -> sup ( ( F " C ) , B , `' S ) = ( F ` sup ( C , A , `' R ) ) )
11		df-inf 8349	. 2 |- inf ( ( F " C ) , B , S ) = sup ( ( F " C ) , B , `' S )
12		df-inf 8349	. . 3 |- inf ( C , A , R ) = sup ( C , A , `' R )
13	12	fveq2i 6194	. 2 |- ( F ` inf ( C , A , R ) ) = ( F ` sup ( C , A , `' R ) )
14	10, 11, 13	3eqtr4g 2681	1 |- ( ph -> inf ( ( F " C ) , B , S ) = ( F ` inf ( C , A , R ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   Or wor 5034   `'ccnv 5113   "cima 5117   ` cfv 5888   Isom wiso 5889   supcsup 8346  infcinf 8347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-sup 8348  df-inf 8349

This theorem is referenced by: (None)