Theorem isohom 16436

Description: An isomorphism is a homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isohom.b	|- B = ( Base ` C )
isohom.h	|- H = ( Hom ` C )
isohom.i	|- I = ( Iso ` C )
isohom.c	|- ( ph -> C e. Cat )
isohom.x	|- ( ph -> X e. B )
isohom.y	|- ( ph -> Y e. B )

Assertion

Ref	Expression
isohom	|- ( ph -> ( X I Y ) C_ ( X H Y ) )

Proof of Theorem isohom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isohom.b	. . . 4 |- B = ( Base ` C )
2		eqid 2622	. . . 4 |- (Inv ` C ) = (Inv ` C )
3		isohom.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. Cat )
4		isohom.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. B )
5		isohom.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. B )
6		isohom.i	. . . 4 |- I = ( Iso ` C )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	isoval 16425	. . 3 |- ( ph -> ( X I Y ) = dom ( X (Inv ` C ) Y ) )
8		isohom.h	. . . . 5 |- H = ( Hom ` C )
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	invss 16421	. . . 4 |- ( ph -> ( X (Inv ` C ) Y ) C_ ( ( X H Y ) X. ( Y H X ) ) )
10		dmss 5323	. . . 4 |- ( ( X (Inv ` C ) Y ) C_ ( ( X H Y ) X. ( Y H X ) ) -> dom ( X (Inv ` C ) Y ) C_ dom ( ( X H Y ) X. ( Y H X ) ) )
11	9, 10	syl 17	. . 3 |- ( ph -> dom ( X (Inv ` C ) Y ) C_ dom ( ( X H Y ) X. ( Y H X ) ) )
12	7, 11	eqsstrd 3639	. 2 |- ( ph -> ( X I Y ) C_ dom ( ( X H Y ) X. ( Y H X ) ) )
13		dmxpss 5565	. 2 |- dom ( ( X H Y ) X. ( Y H X ) ) C_ ( X H Y )
14	12, 13	syl6ss 3615	1 |- ( ph -> ( X I Y ) C_ ( X H Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   Hom chom 15952   Catccat 16325  Invcinv 16405   Iso ciso 16406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-sect 16407  df-inv 16408  df-iso 16409

This theorem is referenced by:  invisoinvl  16450  invcoisoid  16452  isocoinvid  16453  rcaninv  16454  ffthiso  16589  fuciso  16635  initoeu1  16661  initoeu2lem0  16663  initoeu2lem1  16664  initoeu2  16666  termoeu1  16668  nzerooringczr  42072