Theorem 2ndc1stc 21254

Description: A second-countable space is first-countable. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Jan-2010.)

Assertion

Ref	Expression
2ndc1stc	|- ( J e. 2ndc -> J e. 1stc )

Proof of Theorem 2ndc1stc

Dummy variables o b p q s t x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2ndctop 21250	. 2 |- ( J e. 2ndc -> J e. Top )
2		is2ndc 21249	. . . 4 |- ( J e. 2ndc <-> E. b e. TopBases ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) )
3		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . 11 |- { q e. b | x e. q } C_ b
4		bastg 20770	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. TopBases -> b C_ ( topGen ` b ) )
5	4	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> b C_ ( topGen ` b ) )
6	3, 5	syl5ss 3614	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> { q e. b | x e. q } C_ ( topGen ` b ) )
7		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( topGen ` b ) e. _V
8	7	elpw2 4828	. . . . . . . . . 10 |- ( { q e. b | x e. q } e. ~P ( topGen ` b ) <-> { q e. b | x e. q } C_ ( topGen ` b ) )
9	6, 8	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> { q e. b | x e. q } e. ~P ( topGen ` b ) )
10		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- b e. _V
11		ssdomg 8001	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. _V -> ( { q e. b | x e. q } C_ b -> { q e. b | x e. q } ~<_ b ) )
12	10, 3, 11	mp2 9	. . . . . . . . . 10 |- { q e. b | x e. q } ~<_ b
13		simp2 1062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> b ~<_ om )
14		domtr 8009	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { q e. b | x e. q } ~<_ b /\ b ~<_ om ) -> { q e. b | x e. q } ~<_ om )
15	12, 13, 14	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> { q e. b | x e. q } ~<_ om )
16		eltg2b 20763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. TopBases -> ( o e. ( topGen ` b ) <-> A. y e. o E. t e. b ( y e. t /\ t C_ o ) ) )
17	16	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> ( o e. ( topGen ` b ) <-> A. y e. o E. t e. b ( y e. t /\ t C_ o ) ) )
18		elequ1 1997	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = x -> ( y e. t <-> x e. t ) )
19	18	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> ( ( y e. t /\ t C_ o ) <-> ( x e. t /\ t C_ o ) ) )
20	19	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( E. t e. b ( y e. t /\ t C_ o ) <-> E. t e. b ( x e. t /\ t C_ o ) ) )
21	20	rspccv 3306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. o E. t e. b ( y e. t /\ t C_ o ) -> ( x e. o -> E. t e. b ( x e. t /\ t C_ o ) ) )
22		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( t e. b /\ x e. t ) -> ( t e. b /\ x e. t ) )
23	22	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( t e. b /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) -> ( t e. b /\ x e. t ) )
24		elequ2 2004	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q = t -> ( x e. q <-> x e. t ) )
25	24	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t e. { q e. b | x e. q } <-> ( t e. b /\ x e. t ) )
26	23, 25	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( t e. b /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) -> t e. { q e. b | x e. q } )
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) /\ ( t e. b /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) ) -> t e. { q e. b | x e. q } )
28		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) /\ ( t e. b /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) ) -> ( x e. t /\ t C_ o ) )
29		elequ2 2004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p = t -> ( x e. p <-> x e. t ) )
30		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p = t -> ( p C_ o <-> t C_ o ) )
31	29, 30	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p = t -> ( ( x e. p /\ p C_ o ) <-> ( x e. t /\ t C_ o ) ) )
32	31	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( t e. { q e. b | x e. q } /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) )
33	27, 28, 32	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) /\ ( t e. b /\ ( x e. t /\ t C_ o ) ) ) -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) )
34	33	rexlimdvaa 3032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> ( E. t e. b ( x e. t /\ t C_ o ) -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) )
35	21, 34	syl9r 78	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> ( A. y e. o E. t e. b ( y e. t /\ t C_ o ) -> ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
36	17, 35	sylbid 230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> ( o e. ( topGen ` b ) -> ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
37	36	ralrimiv 2965	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) )
38		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = { q e. b | x e. q } -> ( s ~<_ om <-> { q e. b | x e. q } ~<_ om ) )
39		rexeq 3139	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = { q e. b | x e. q } -> ( E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) <-> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) )
40	39	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = { q e. b | x e. q } -> ( ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) <-> ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
41	40	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = { q e. b | x e. q } -> ( A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) <-> A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
42	38, 41	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( s = { q e. b | x e. q } -> ( ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) <-> ( { q e. b | x e. q } ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
43	42	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( { q e. b | x e. q } e. ~P ( topGen ` b ) /\ ( { q e. b | x e. q } ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. { q e. b | x e. q } ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) -> E. s e. ~P ( topGen ` b ) ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
44	9, 15, 37, 43	syl12anc 1324	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om /\ x e. U. ( topGen ` b ) ) -> E. s e. ~P ( topGen ` b ) ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
45	44	3expia 1267	. . . . . . 7 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) -> ( x e. U. ( topGen ` b ) -> E. s e. ~P ( topGen ` b ) ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
46		unieq 4444	. . . . . . . . 9 |- ( ( topGen ` b ) = J -> U. ( topGen ` b ) = U. J )
47	46	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( x e. U. ( topGen ` b ) <-> x e. U. J ) )
48		pweq 4161	. . . . . . . . 9 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ~P ( topGen ` b ) = ~P J )
49		raleq 3138	. . . . . . . . . 10 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) <-> A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
50	49	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) <-> ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
51	48, 50	rexeqbidv 3153	. . . . . . . 8 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( E. s e. ~P ( topGen ` b ) ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) <-> E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
52	47, 51	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( ( topGen ` b ) = J -> ( ( x e. U. ( topGen ` b ) -> E. s e. ~P ( topGen ` b ) ( s ~<_ om /\ A. o e. ( topGen ` b ) ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) <-> ( x e. U. J -> E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) ) )
53	45, 52	syl5ibcom 235	. . . . . 6 |- ( ( b e. TopBases /\ b ~<_ om ) -> ( ( topGen ` b ) = J -> ( x e. U. J -> E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) ) )
54	53	expimpd 629	. . . . 5 |- ( b e. TopBases -> ( ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) -> ( x e. U. J -> E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) ) )
55	54	rexlimiv 3027	. . . 4 |- ( E. b e. TopBases ( b ~<_ om /\ ( topGen ` b ) = J ) -> ( x e. U. J -> E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
56	2, 55	sylbi 207	. . 3 |- ( J e. 2ndc -> ( x e. U. J -> E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
57	56	ralrimiv 2965	. 2 |- ( J e. 2ndc -> A. x e. U. J E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) )
58		eqid 2622	. . 3 |- U. J = U. J
59	58	is1stc2 21245	. 2 |- ( J e. 1stc <-> ( J e. Top /\ A. x e. U. J E. s e. ~P J ( s ~<_ om /\ A. o e. J ( x e. o -> E. p e. s ( x e. p /\ p C_ o ) ) ) ) )
60	1, 57, 59	sylanbrc 698	1 |- ( J e. 2ndc -> J e. 1stc )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   topGenctg 16098   Topctop 20698   TopBasesctb 20749   1stcc1stc 21240   2ndcc2ndc 21241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-dom 7957  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-1stc 21242  df-2ndc 21243

This theorem is referenced by:  dis1stc  21302