Theorem isabl2 18201

Description: The predicate "is an Abelian (commutative) group." (Contributed by NM, 17-Oct-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscmn.b	|- B = ( Base ` G )
iscmn.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
isabl2	|- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, G, y

Allowed substitution hints:   .+ ( x, y)

Proof of Theorem isabl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isabl 18197	. 2 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) )
2		grpmnd 17429	. . . 4 |- ( G e. Grp -> G e. Mnd )
3		iscmn.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
4		iscmn.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` G )
5	3, 4	iscmn 18200	. . . . 5 |- ( G e. CMnd <-> ( G e. Mnd /\ A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )
6	5	baib 944	. . . 4 |- ( G e. Mnd -> ( G e. CMnd <-> A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )
7	2, 6	syl 17	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( G e. CMnd <-> A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )
8	7	pm5.32i 669	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ G e. CMnd ) <-> ( G e. Grp /\ A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )
9	1, 8	bitri 264	1 |- ( G e. Abel <-> ( G e. Grp /\ A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422  CMndccmn 18193   Abelcabl 18194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-grp 17425  df-cmn 18195  df-abl 18196

This theorem is referenced by:  isabli  18207  invghm  18239  qusabl  18268  abl1  18269  archiabllem1  29747  archiabllem2  29751