Theorem archiabllem2 29751

Description: Archimedean ordered groups with no minimal positive value are abelian. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-May-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
archiabllem.b	|- B = ( Base ` W )
archiabllem.0	|- .0. = ( 0g ` W )
archiabllem.e	|- .<_ = ( le ` W )
archiabllem.t	|- .< = ( lt ` W )
archiabllem.m	|- .x. = (.g ` W )
archiabllem.g	|- ( ph -> W e. oGrp )
archiabllem.a	|- ( ph -> W e. Archi )
archiabllem2.1	|- .+ = ( +g ` W )
archiabllem2.2	|- ( ph -> (oppg ` W ) e. oGrp )
archiabllem2.3	|- ( ( ph /\ a e. B /\ .0. .< a ) -> E. b e. B ( .0. .< b /\ b .< a ) )

Assertion

Ref	Expression
archiabllem2	|- ( ph -> W e. Abel )

Distinct variable groups:   a, b, B   W, a, b   ph, a, b   .+ , a, b   .<_ , a, b   .< , a, b   .0. , a, b

Allowed substitution hints:   .x. ( a, b)

Proof of Theorem archiabllem2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		archiabllem.g	. . 3 |- ( ph -> W e. oGrp )
2		ogrpgrp 29703	. . 3 |- ( W e. oGrp -> W e. Grp )
3	1, 2	syl 17	. 2 |- ( ph -> W e. Grp )
4		archiabllem.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` W )
5		archiabllem.0	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` W )
6		archiabllem.e	. . . . 5 |- .<_ = ( le ` W )
7		archiabllem.t	. . . . 5 |- .< = ( lt ` W )
8		archiabllem.m	. . . . 5 |- .x. = (.g ` W )
9	1	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> W e. oGrp )
10		archiabllem.a	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. Archi )
11	10	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> W e. Archi )
12		archiabllem2.1	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` W )
13		archiabllem2.2	. . . . . 6 |- ( ph -> (oppg ` W ) e. oGrp )
14	13	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> (oppg ` W ) e. oGrp )
15		simp1 1061	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ph )
16		archiabllem2.3	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. B /\ .0. .< a ) -> E. b e. B ( .0. .< b /\ b .< a ) )
17	15, 16	syl3an1 1359	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) /\ a e. B /\ .0. .< a ) -> E. b e. B ( .0. .< b /\ b .< a ) )
18		simp2 1062	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> x e. B )
19		simp3 1063	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> y e. B )
20	4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 17, 18, 19	archiabllem2b 29750	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
21	20	3expb 1266	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
22	21	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
23	4, 12	isabl2 18201	. 2 |- ( W e. Abel <-> ( W e. Grp /\ A. x e. B A. y e. B ( x .+ y ) = ( y .+ x ) ) )
24	3, 22, 23	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> W e. Abel )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   lecple 15948   0gc0g 16100   ltcplt 16941   Grpcgrp 17422  ._gcmg 17540  opp_gcoppg 17775   Abelcabl 18194  oGrpcogrp 29698  Archicarchi 29731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-ple 15961  df-0g 16102  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-toset 17034  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-oppg 17776  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-omnd 29699  df-ogrp 29700  df-inftm 29732  df-archi 29733

This theorem is referenced by:  archiabl  29752