Theorem finacn 8873

Description: Every set has finite choice sequences. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
finacn	|- ( A e. Fin -> AC A = _V )

Proof of Theorem finacn

Dummy variables f g x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 7879	. . . . . . . . 9 |- ( f e. ( ( ~P x \ { (/) } ) ^m A ) -> f : A --> ( ~P x \ { (/) } ) )
2	1	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Fin /\ f e. ( ( ~P x \ { (/) } ) ^m A ) ) -> f : A --> ( ~P x \ { (/) } ) )
3		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : A --> ( ~P x \ { (/) } ) /\ y e. A ) -> ( f ` y ) e. ( ~P x \ { (/) } ) )
4		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f ` y ) e. ( ~P x \ { (/) } ) -> ( f ` y ) =/= (/) )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : A --> ( ~P x \ { (/) } ) /\ y e. A ) -> ( f ` y ) =/= (/) )
6		n0 3931	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f ` y ) =/= (/) <-> E. z z e. ( f ` y ) )
7	5, 6	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : A --> ( ~P x \ { (/) } ) /\ y e. A ) -> E. z z e. ( f ` y ) )
8		rexv 3220	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. _V z e. ( f ` y ) <-> E. z z e. ( f ` y ) )
9	7, 8	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : A --> ( ~P x \ { (/) } ) /\ y e. A ) -> E. z e. _V z e. ( f ` y ) )
10	9	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( f : A --> ( ~P x \ { (/) } ) -> A. y e. A E. z e. _V z e. ( f ` y ) )
11	2, 10	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ f e. ( ( ~P x \ { (/) } ) ^m A ) ) -> A. y e. A E. z e. _V z e. ( f ` y ) )
12		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( z = ( g ` y ) -> ( z e. ( f ` y ) <-> ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
13	12	ac6sfi 8204	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ A. y e. A E. z e. _V z e. ( f ` y ) ) -> E. g ( g : A --> _V /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
14	11, 13	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ f e. ( ( ~P x \ { (/) } ) ^m A ) ) -> E. g ( g : A --> _V /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
15		exsimpr 1796	. . . . . 6 |- ( E. g ( g : A --> _V /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) -> E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ f e. ( ( ~P x \ { (/) } ) ^m A ) ) -> E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
17	16	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( A e. Fin -> A. f e. ( ( ~P x \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) )
18		vex 3203	. . . . 5 |- x e. _V
19		isacn 8867	. . . . 5 |- ( ( x e. _V /\ A e. Fin ) -> ( x e. AC A <-> A. f e. ( ( ~P x \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
20	18, 19	mpan 706	. . . 4 |- ( A e. Fin -> ( x e. AC A <-> A. f e. ( ( ~P x \ { (/) } ) ^m A ) E. g A. y e. A ( g ` y ) e. ( f ` y ) ) )
21	17, 20	mpbird 247	. . 3 |- ( A e. Fin -> x e. AC A )
22	18	a1i 11	. . 3 |- ( A e. Fin -> x e. _V )
23	21, 22	2thd 255	. 2 |- ( A e. Fin -> ( x e. AC A <-> x e. _V ) )
24	23	eqrdv 2620	1 |- ( A e. Fin -> AC A = _V )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955  AC wacn 8764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-fin 7959  df-acn 8768

This theorem is referenced by:  acndom  8874