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Theorem iscnp4 21067
Description: The predicate " F is a continuous function from topology J to topology K at point P." in terms of neighborhoods. (Contributed by FL, 18-Jul-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscnp4 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, F   x, J, y   x, K, y   x, P, y   x, X, y   x, Y, y
Proof of Theorem iscnp4
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnpf2 21054 . . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F : X --> Y )
213expa 1265 . . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F : X --> Y )
323adantl3 1219 . . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> F : X --> Y )
4 simplr 792 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) )
5 simpll2 1101 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
6 topontop 20718 . . . . . . . . 9 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> K e. Top )
8 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- U. K = U. K
98neii1 20910 . . . . . . . . 9 |- ( ( K e. Top /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> y C_ U. K )
107, 9sylancom 701 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> y C_ U. K )
118ntropn 20853 . . . . . . . 8 |- ( ( K e. Top /\ y C_ U. K ) -> ( ( int ` K ) ` y ) e. K )
127, 10, 11syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> ( ( int ` K ) ` y ) e. K )
13 simpr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) )
143adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> F : X --> Y )
15 simpll3 1102 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> P e. X )
1614, 15ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> ( F ` P ) e. Y )
17 toponuni 20719 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y = U. K )
185, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> Y = U. K )
1916, 18eleqtrd 2703 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> ( F ` P ) e. U. K )
2019snssd 4340 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> { ( F ` P ) } C_ U. K )
218neiint 20908 . . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Top /\ { ( F ` P ) } C_ U. K /\ y C_ U. K ) -> ( y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) <-> { ( F ` P ) } C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) )
227, 20, 10, 21syl3anc 1326 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> ( y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) <-> { ( F ` P ) } C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) )
2313, 22mpbid 222 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> { ( F ` P ) } C_ ( ( int ` K ) ` y ) )
24 fvex 6201 . . . . . . . . 9 |- ( F ` P ) e. _V
2524snss 4316 . . . . . . . 8 |- ( ( F ` P ) e. ( ( int ` K ) ` y ) <-> { ( F ` P ) } C_ ( ( int ` K ) ` y ) )
2623, 25sylibr 224 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> ( F ` P ) e. ( ( int ` K ) ` y ) )
27 cnpimaex 21060 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) /\ ( ( int ` K ) ` y ) e. K /\ ( F ` P ) e. ( ( int ` K ) ` y ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) )
284, 12, 26, 27syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) )
29 simpl1 1064 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
3029ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) /\ ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
31 topontop 20718 . . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) /\ ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) ) ) -> J e. Top )
33 simprl 794 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) /\ ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) ) ) -> x e. J )
34 simprrl 804 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) /\ ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) ) ) -> P e. x )
35 opnneip 20923 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ x e. J /\ P e. x ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) )
3632, 33, 34, 35syl3anc 1326 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) /\ ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) )
37 simprrr 805 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) /\ ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) ) ) -> ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) )
388ntrss2 20861 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. Top /\ y C_ U. K ) -> ( ( int ` K ) ` y ) C_ y )
397, 10, 38syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> ( ( int ` K ) ` y ) C_ y )
4039adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) /\ ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) ) ) -> ( ( int ` K ) ` y ) C_ y )
4137, 40sstrd 3613 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) /\ ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) ) ) -> ( F " x ) C_ y )
4236, 41jca 554 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) /\ ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) ) ) -> ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) )
4342ex 450 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> ( ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) ) -> ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) )
4443reximdv2 3014 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ ( ( int ` K ) ` y ) ) -> E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) )
4528, 44mpd 15 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) /\ y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) ) -> E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y )
4645ralrimiva 2966 . . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y )
473, 46jca 554 . . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) -> ( F : X --> Y /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) )
4847ex 450 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> ( F : X --> Y /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) ) )
49 simpll2 1101 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
5049, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) -> K e. Top )
51 simprl 794 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) -> y e. K )
52 simprr 796 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) -> ( F ` P ) e. y )
53 opnneip 20923 . . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Top /\ y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) -> y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) )
5450, 51, 52, 53syl3anc 1326 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) -> y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) )
55 simpl1 1064 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) -> J e. (TopOn ` X ) )
5655ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
5756, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> J e. Top )
58 simprl 794 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) )
59 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 |- U. J = U. J
6059neii1 20910 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> x C_ U. J )
6157, 58, 60syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> x C_ U. J )
6259ntropn 20853 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ x C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` x ) e. J )
6357, 61, 62syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( ( int ` J ) ` x ) e. J )
64 simpll3 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) -> P e. X )
6564adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> P e. X )
66 toponuni 20719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
6756, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> X = U. J )
6865, 67eleqtrd 2703 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> P e. U. J )
6968snssd 4340 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> { P } C_ U. J )
7059neiint 20908 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ { P } C_ U. J /\ x C_ U. J ) -> ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> { P } C_ ( ( int ` J ) ` x ) ) )
7157, 69, 61, 70syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) <-> { P } C_ ( ( int ` J ) ` x ) ) )
7258, 71mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> { P } C_ ( ( int ` J ) ` x ) )
73 snssg 4327 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. X -> ( P e. ( ( int ` J ) ` x ) <-> { P } C_ ( ( int ` J ) ` x ) ) )
7465, 73syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( P e. ( ( int ` J ) ` x ) <-> { P } C_ ( ( int ` J ) ` x ) ) )
7572, 74mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> P e. ( ( int ` J ) ` x ) )
7659ntrss2 20861 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ x C_ U. J ) -> ( ( int ` J ) ` x ) C_ x )
7757, 61, 76syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( ( int ` J ) ` x ) C_ x )
78 imass2 5501 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( int ` J ) ` x ) C_ x -> ( F " ( ( int ` J ) ` x ) ) C_ ( F " x ) )
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( F " ( ( int ` J ) ` x ) ) C_ ( F " x ) )
80 simprr 796 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( F " x ) C_ y )
8179, 80sstrd 3613 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> ( F " ( ( int ` J ) ` x ) ) C_ y )
82 eleq2 2690 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( ( int ` J ) ` x ) -> ( P e. z <-> P e. ( ( int ` J ) ` x ) ) )
83 imaeq2 5462 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( ( int ` J ) ` x ) -> ( F " z ) = ( F " ( ( int ` J ) ` x ) ) )
8483sseq1d 3632 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( ( int ` J ) ` x ) -> ( ( F " z ) C_ y <-> ( F " ( ( int ` J ) ` x ) ) C_ y ) )
8582, 84anbi12d 747 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( ( int ` J ) ` x ) -> ( ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) <-> ( P e. ( ( int ` J ) ` x ) /\ ( F " ( ( int ` J ) ` x ) ) C_ y ) ) )
8685rspcev 3309 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( int ` J ) ` x ) e. J /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` x ) /\ ( F " ( ( int ` J ) ` x ) ) C_ y ) ) -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) )
8763, 75, 81, 86syl12anc 1324 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) /\ ( x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) /\ ( F " x ) C_ y ) ) -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) )
8887rexlimdvaa 3032 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) -> ( E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) )
8954, 88embantd 59 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) /\ ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) ) -> ( ( y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) -> E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) )
9089ex 450 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) -> ( ( y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) -> E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) ) )
9190com23 86 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) -> E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) -> ( ( y e. K /\ ( F ` P ) e. y ) -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) ) )
9291exp4a 633 . . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) -> E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) -> ( y e. K -> ( ( F ` P ) e. y -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) ) ) )
9392ralimdv2 2961 . . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y -> A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) ) )
9493imdistanda 729 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) -> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) ) ) )
95 iscnp 21041 . . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) ) ) )
9694, 95sylibrd 249 . 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` P ) ) )
9748, 96impbid 202 1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. ( ( nei ` K ) ` { ( F ` P ) } ) E. x e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ( F " x ) C_ y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   {csn 4177   U.cuni 4436   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   intcnt 20821   neicnei 20901   CnP ccnp 21029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-top 20699  df-topon 20716  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-cnp 21032
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