Theorem lmcvg 21066

Description: Convergence property of a converging sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmcvg.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
lmcvg.3	|- ( ph -> P e. U )
lmcvg.4	|- ( ph -> M e. ZZ )
lmcvg.5	|- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) P )
lmcvg.6	|- ( ph -> U e. J )

Assertion

Ref	Expression
lmcvg	|- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. U )

Distinct variable groups:   j, k, F   j, J, k   P, j, k   ph, j, k   U, j, k   j, M   j, Z, k

Allowed substitution hint:   M( k)

Proof of Theorem lmcvg

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmcvg.6	. 2 |- ( ph -> U e. J )
2		lmcvg.5	. . . . 5 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) P )
3		lmrcl 21035	. . . . . . . 8 |- ( F ( ~~> t ` J ) P -> J e. Top )
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. Top )
5		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- U. J = U. J
6	5	toptopon 20722	. . . . . . 7 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
7	4, 6	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. (TopOn ` U. J ) )
8		lmcvg.1	. . . . . 6 |- Z = ( ZZ>= ` M )
9		lmcvg.4	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
10	7, 8, 9	lmbr2 21063	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( U. J ^pm CC ) /\ P e. U. J /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
11	2, 10	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( F e. ( U. J ^pm CC ) /\ P e. U. J /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
12	11	simp3d 1075	. . 3 |- ( ph -> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
13		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) -> ( F ` k ) e. u )
14	13	ralimi 2952	. . . . . 6 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u )
15	14	reximi 3011	. . . . 5 |- ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u )
16	15	imim2i 16	. . . 4 |- ( ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) -> ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) )
17	16	ralimi 2952	. . 3 |- ( A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) -> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) )
18	12, 17	syl 17	. 2 |- ( ph -> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) )
19		lmcvg.3	. 2 |- ( ph -> P e. U )
20		eleq2 2690	. . . 4 |- ( u = U -> ( P e. u <-> P e. U ) )
21		eleq2 2690	. . . . 5 |- ( u = U -> ( ( F ` k ) e. u <-> ( F ` k ) e. U ) )
22	21	rexralbidv 3058	. . . 4 |- ( u = U -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. U ) )
23	20, 22	imbi12d 334	. . 3 |- ( u = U -> ( ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) <-> ( P e. U -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. U ) ) )
24	23	rspcv 3305	. 2 |- ( U e. J -> ( A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) -> ( P e. U -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. U ) ) )
25	1, 18, 19, 24	syl3c 66	1 |- ( ph -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^pm cpm 7858   CCcc 9934   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   ~~> tclm 21030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-top 20699  df-topon 20716  df-lm 21033

This theorem is referenced by:  lmmo  21184  1stccnp  21265  1stckgenlem  21356  iscmet3lem2  23090